RAM与图灵机复杂性之间的巨大差距

如果仅考虑P中的问题，那么对于特定问题，最快的已知word-RAM算法和最快的Turing机器算法之间是否还有较大的差距？如果普遍关注的自然问题之间存在巨大差距，我特别感兴趣。

众所周知，您可以及时在RAM机器上计算的任何问题 $T(n)$，您最多可以及时在Turing Machine中完成 $T(n)^2$。您需要注意，所使用的内存总大小不能超过$T(n)$，因为那意味着您执行的写操作多于 $T(n)$，因此每次您从RAM内存中获取内容时，图灵机都会遇到最坏的情况 $T(n)$时间从磁带上顺序找到所需的元素。除内存访问外，其余操作应大约在同一时间进行。这样您就可以了。

下面的例子证明了一种算法 $A$ 这需要 $O(n\log(n))$ 解决单词拉姆问题 $O(n^2 \log(n)^3)$在1磁带图灵机（TM）上，该机器精确执行由$A$。我了解该问题与1-tape TM有关，我只在回答中使用此问题。这是针对EmilJeřábek的言论所做的编辑。

我们将发现以下更一般的结论。证明TM可以解决$O(T(n)^2)$ 解决的问题 $O(T(n))$ 通过算法 $A$上RAM，它是不是足够运行$A$在TM上。可能需要一个聪明的算法。如果一个人想证明一个$O(n\log(n))$高架。至少可以说，只要有需要，就证明存在一个聪明的算法似乎还不是立竿见影的。这是不是与其它反应线，基本上只提出模拟/执行的TM 所有RAM计算（算法$A$）宣布TM的复杂性，例如 $O(T(n)^2)$ 要么 $O(T(n)n\log(n))$。

问题：我们得到了一个数组/表$\texttt{tab}$ 与 $n=2k$ 每个存储在的整数 $\log(n)$位。我们得到了第二个数组$\texttt{d}$ 与 $\log(n)$ 位置，每个位置记录多个 $\log(n)$位。对于任何$t\in[0..\log(n)-1]$，我们定义 $X_t=1$ 如果 $\texttt{tab}[i]$ MOD $\texttt{d}[t]=\texttt{tab}[n/2+i]$ MOD $\texttt{d}[t]~\forall i\in [0..n/2-1]$。除此以外，$X_t=0$。输出量$\sum_{t=0}^{\log(n)-1} X_t$。我认为输入是用胶带给出的$n\log(n)+\log(n)\log(n)$ 二进制数字，以解决EmilJeřábek的评论。

算法 $A$在RAM中。RAM与字长$w=\log(n)$ 需要 $O(n\log(n)+\log(n)^2)$ = $O(n\log(n))$读取二进制字符串输入数据。但是在读取数据后，它只能与$\log(n)$尺寸。算法$A$ 计算任何 $X_t$ 在 $O(n)$ 通过所有 $i\in [0..n/2-1]$并测试条件。主循环$A$是为了$t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$： 计算 $X_t$。总的复杂度是$O(n\log(n))$ （读取数据）+ $O(n\log(n))$ （进行计算），因此 $A$ 可以做到 $O(n\log(n))$ 在RAM上。

算法 $A$在1磁带TM上：我认为1磁带TM需要$O(n^2 \log(n)^2)$ 固定时间 $t$。从TM的角度来看，$A_t$ 等效于测试两个长度为二进制的字符串的相等性 $O(n\log(n))$。例如，MOD操作$\texttt{tab}[i]$ MOD $\texttt{d}[t]$ 可能等同于删除位 $0$ 的 $\texttt{tab}[i]$。在这种情况下，$A_t$ 等效于对长度为bit的位串进行相等性测试 $n(\log(n)-1)/2$。众所周知，要测试两个长度相等的字符串$m$ 要求 $O(m^2)$在1-tape TM上，但我现在找不到真正的参考。但是，我提供了一个ps证明。如果TM执行主循环的$A$，它至少要花费 $O((n\log n)^2)$ 每个 $t=0, 1, 2, \dots \log(n)-1$，最终以 $O(n^2 \log(n)^3)$。

ps。我展示了使用$m$位不能比对带有$m$ 位（已知疟原虫至少需要 $O(m^2)$时间）。我们可以修改任何TM算法进行相等性测试来解决回文。假设相等性测试TM以两个整数开头：一个在头部的左侧，一个在右侧（这是TM的最简单输入形式）。左位置的每次移动都可以在右位置镜像（反射）。我们建立一个镜像的TM：只要初始TM位于某个位置$-x<0$ （在左侧），镜像的TM位于 $x$（在右边）。如果TM在少于$O(m^2)$，此修改后的镜像TM可以在不到 $O(m^2)$。

此外，还有一些测试平等-TM算法，在那里，所有的人都需要二次的时间，因为他们需要一些曲折，参见例如图灵机示例2在courses.cs.washington.edu/courses/cse431/14sp/scribes/ lec3.pdf