哪些单调布尔函数可表示为求和阈值？

我将通过一个例子来介绍我的问题。假设您正在设计考试，其中包括一组特定的$n$独立问题（考生可以对是错）。您想决定要给每个问题的分数，其规则是总分高于某个阈值的候选人将通过，其他候选人将不及格。

实际上，您对此非常了解，并且已经预见了所有可能的$2^n$结果，并为每个结果确定具有这种表现的候选人应该通过还是失败。所以，你有一个布尔函数$f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$表示候选人是否应通过或失败取决于其确切的答案。当然，此功能应该是单调的：当正确解决一组问题使您通过时，正确解决任何超集也必须使您通过。

您能否确定要给出问题的分数（正实数）和阈值，以便您的功能能够被“如果正确问题的分数总和高于阈值，则候选人通过”规则准确地捕获。 ？（当然，在不失一般性的前提下，可以将阈值设为1，直至将分数乘以一个常数。）$f$

正式：是否有的单调布尔函数表征对于其中存在瓦特1，... ，瓦特Ñ ∈ [R +使得对于所有v ∈ { 0 ，1 } ñ，我们有˚F （v ）= 1当且仅当Σ 我瓦特我v 我 ≥ $f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$$w_1, \ldots, w_n \in \mathbb{R}_+$$v \in \{0, 1\}^n$$f(v) = 1$$\sum_i w_i v_i \geq 1$？

不难发现并非所有功能都可以如此表示。例如，该函数不能：如（1 ，1 ，0 ，0 ）被接受，我们必须具有瓦特1 + 瓦特2 ≥ 1，的这么一瓦特1，瓦特2必须是≥ 1 / 2，并同样用于瓦特3$(x_1 \wedge x_2) \vee (x_3 \wedge x_4)$$(1, 1, 0, 0)$$w_1 + w_2 \geq 1$$w_1, w_2$$\geq 1/2$。现在，如果它是，例如，瓦特1和瓦特3，我们有一个矛盾，因为瓦特1 + 瓦特3 ≥ 1但（1 ，0 ，1 ，0 ）被拒绝; 其他情况类似。$w_3, w_4$$w_1$$w_3$$w_1 + w_3 \geq 1$$(1, 0, 1, 0)$

在我看来，这是一个非常自然的问题，所以我的主要问题是要知道使用哪种名称进行了研究。当然，要求“特征化”是含糊的；我的问题是要知道可以用这种方式表示的函数的类别是否具有名称，关于测试输入函数是否属于该函数（以公式或电路形式）的复杂性的了解，等等。

当然，可以想到有关此主题的许多变体。例如，在实际考试中，问题不是独立的，但是有一个DAG上的指示依赖项的问题，并且只有在所有先决条件都得到满足后，考生才能回答问题。上单调函数的条件可以随后在被限制为估值满足的依赖性，而问题是要确定是否输入功能可如此捕捉给定的变量的输入DAG。人们还可以想到的变体，其中分数的ķ固定元组ķ（逐点求和，并逐点相比于阈值矢量），其能够捕捉比多个功能$\{0, 1\}^n$$k$$k$。另外，您可能希望捕获更多不是布尔型的表达函数，而是转到一个完全有序的域，并使用不同的阈值来指示您在域中的位置。最后，我不确定如果您允许负分数会发生什么事情（因此您可以取消对功能的单调限制）。$k = 1$

（注意：让我对此感到疑惑的是Google Code Jam选择回合，如果候选人达到一定的分数阈值，就会选择他们，并且问题的分数大概经过精心设计，以反映认为哪些问题足以被选中。Code Jam对问题具有依赖关系结构，除非您先解决了“小输入”问题，否则某些“大输入”问题是无法解决的。）

评论中提到这些是正阈值函数。

至于其他特征，我发现以下内容很有趣。假设我们有减小的权重的正阈值函数： ˚F （v 1，... ，v Ñ）= $w_1\ge w_2\ge\dots w_n$ 然后，在特定的一组输入（v1，...，vÑ）为其˚F（ → v）=1是二进制优化晶格的顺序理想与2个Ñ点，这是就读于

Donald Knuth，“计算机编程的艺术”，第7.1.1节的练习109。

把它非正式的，是函数，其中使早期位的那种1个品牌˚F更可能是1：所以如˚F （0 ，1 ，1 ）≤ ˚F （1 ，0 ，1 ）≤ ˚F （1 ，1 ，0 ）。也就是说，“某些位更重要”，为了消除冗余的同构情况，我们假设较早的位更重要。$f$$f$$f(0,1,1)\le f(1,0,1)\le f(1,1,0)$

但是，并非所有此类功能都是正阈值功能！也就是说，仅因为您已将考试问题从最重要到最不重要排序，并不意味着您的通过/失败规则仅基于总分。

实际上，正的阈值函数对数（随权重）变量是由序列表中给出 2 ，3 ，5 ，10 ，27 ，119 ，1113，... （oeis.org序列A000617），而这样的顺序的理想的数是 2 ，3 ，5 ，10 ，27 ，119 ，1173，... （oeis.org序列A132183）$n$