树宽

设 $k$ 为固定值，使 $G$ 为（连通）图。如果我没记错的话，从Bodlaender [1，定理3.11]的工作得出，如果的树宽 $G$ 大约至少为 $2k^3$ ，则 $G$ 包含一个作为次要的恒星 $K_{1,k}$ 。

我们可以使 $2k^3$ 更小吗？也就是说，是否说树宽至少为 $k$ 已经暗示存在 $K_{1,k}$ -minor？某处有证据吗？

[1] Bodlaender，HL（1993）。使用深度优先搜索的线性时间次要测试。算法学报，14（1），1-23。

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
source

Demaine和Hajiaghayi的一个松散相关的结果：对于固定图

H

$H$ ，任何树宽为

的无

H

$H$ 次要图都有

网格图小。

w

$w$

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$

— mhum 2015年

@mhum在不断

Ω

$\Omega$ 成倍取决于

| H |

$|H|$ ，因此直接应用它会产生比

差的

2 k^{3}

$2k^3$ 边界。

— daniello 2015年

@daniello确实是这样。该常数不是很好，并且对无

小图的专业化也不是很好。我只是想指出一个模糊的结果。

H

$H$

— mhum 2015年

的确，每个没有 minor的图树宽最多为。我们首先在下面的定义中证明这一点： $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

让是的树宽和处于集团的最大大小。如果是的子图并且是弦的，则图是的三角剖分（即，在至少个顶点上没有诱导周期）。三角测量的是最小三角测量如果没有适当的子图也是三角。顶点的子集 $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

上面的公式意味着要证明，足以证明所有潜在最大集团的大小最多为。我们现在证明这一点。令为的潜在最大集团，并假设。 $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

我们将对潜在的最大团进行以下描述：顶点集是一个潜在的最大团，且仅当每对，中的非相邻（相异）顶点有路径在从到，其所有内部顶点都在之外。此特征可以在Bouchitte和Todinca的论文《树宽和最小填充量：最小分隔符分组》中找到。 $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

通过这种表征，可以很容易地从导出次要。让。对于每个顶点，是的边，或者存在从到的路径，其中所有内部顶点都在之外。对于所有不与相邻的，将所有内部顶点收缩为。我们用的次要最终其中邻近于所有的，和 $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ 。因此，在这个未成年人中的程度至少为，从而完成了证明。 $u$ $k$

— 达涅洛
source

谢谢丹尼尔！您是否知道某个地方是否已经发布了相同的论点（或结果）？

— Juho 2015年

我没有参考，但我似乎还记得，在某处写了一个类似的（可能不太紧）自由图参数。不幸的是，我没有更具体的指针。

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— daniello