的明显的差异数

在研究过程中，我遇到了以下结果。

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ $m=\omega(\sqrt n)$ $a_1,\cdots,a_m$ $[n]$

我正在寻找参考/直接证明。

交叉张贴在MO

reference-request co.combinatorics pr.probability

— 朱Ca
source

如果，则可以得到的最大不同差数为。所以，你真的需要增长速度比这是真的。我会做的是尝试了一些计算概率是不是一个差。

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$

m

$m$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

d

$d$

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$

— 彼得·索尔

@Shor：谢谢，我更新了问题。的确，由于，因此更容易计算出特定的差。

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$

d

$d$

— 朱

@ZhuCao，当您说“ 从

随机选择

m

$m$ 整数

”时，您到底是什么意思？我假设我是统一的

。

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$

[1, n]

$[1,n]$

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$

— usul 2015年

@Andras不，不是这样。例如，如果未选择数字

1

$1$ （发生概率的可能性是从0开始），则不会出现差异

n - 1

$n-1$ ，并且

D_{n} < n

$D_n<n$ 。但是为什么需要这样呢？该问题仅要求

的期望值

D_{n} / n

$D_n/n$ 接近1，而不是

D_{n}

$D_n$ 等于1的可能性很高。

— 詹姆斯·马丁

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— DW

假定给定 $m=\omega(\sqrt{n})$ 。

修复任何。我们将考虑与。目的是表明高概率为，包含在差异集中。 $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

首先考虑集合。的数量与，使得是二项式周围期望。因此，以高概率，此类的数量至少为，即。然后（声称，“左为锻炼”，不难显示）为，集合大小至少为。让我们为这个“好事件” 写，即。 $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

假设确实成立，即对于，至少有于的不同值。注意，对于每个这样的值，都有一个值，恰好大。现在考虑的值的。它们是独立的，每个概率至少有距集合的元素距离。则不产生差的概率至多为 $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ 由于，因此变为0 。因此，确实，成立但大小存在差异的概率趋向于0为。 $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

因此（均匀地在），将包含在差异集中的可能性趋于1，即。因此，使用期望线性度，由于是任意的，因此限制根据需要为1。 $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— 詹姆斯·马丁
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您是否在表达式中将每个差异视为独立的，如果这样，是否合理？

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul 2015年

@詹姆斯哦，现在我知道我错过了那。谢谢。

n

$n$

— DanielSoltész2015年

@usul：的确道歉，我的说法草率且不完整。我扩展了它-我认为它现在可以容纳水。

— 詹姆斯·马丁