P / poly

$P/poly = NP/poly$ 意味着 $NP \subseteq P/poly$ ，这反过来又具有类似多项式层次结构的崩溃有趣的结果。

是否有有趣的含义 $P/poly \neq NP/poly$ ？

cc.complexity-theory conditional-results advice-and-nonuniformity

P / p o l y = N P / p o l y

$\mathrm{P}/\mathrm{poly}=\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$ 是等效于

N P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{P}/\mathrm{poly}$ 。

— EmilJeřábek2015年

\neq

$\neq$

⊈

$\not\subseteq$

@Kaveh：消除动机真的是我们应该做的事情吗？它向我介绍了我以前从未遇到过的事情，这并不是说它没有被分割。这不是Twitter。

— 安德拉斯·萨拉蒙

@EmilJeřábek我想我现在明白了。NP P / poly意味着P / poly = NP / poly，因为确定性算法既可以获取自己的建议字符串以变得与NP一样强大，又可以使用来自NP / poly的语言的建议字符串，这是足以决定该语言。

\subseteq

$\subseteq$

— Thomas Klimpel，2015年

@ThomasKlimpel：是的，完全正确。

— EmilJeřábek2015年

EmilJeřábek的评论回答了这个问题：

P / poly NP / poly等于NP P / poly $=$ $\subseteq$

注意推论

P / poly NP / poly表示P NP。 $\neq$ $\neq$

推论证明：

P / poly NP / poly等于NP P / poly（Emil的评论） $=$ $\subseteq$ $\$
NP P / poly意味着P / poly NP / poly（表示为1）。 $\subseteq$ $=$ $\$
P / poly NP / poly表示NP P / poly（等于2。） $\neq$ $\not\subseteq$ $\$
NP P / poly意味着P NP（P P / poly） $\not\subseteq$ $\neq$ $\$ $\subseteq$
P / poly NP / poly表示P NP（用3和4表示）。 $\neq$ $\neq$ $\$

Emil评论的证明：足以证明NP P / poly意味着P / poly NP / poly。 $\subseteq$ $=$

因此，假设NP P / poly。 $\subseteq$
因为NP中的SAT存在和带有的建议字符串的序列，所以该确定性算法可以如果可以访问，则在时间确定大小为 SAT实例。WLOG，该算法还可以确定大小为 SAT实例，因为我们可以定义修改后的序列和，其中所有先前的建议字符串都包含在。 $\in$ $p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$ $s_n$ $\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$ $n$ $\leq n^{p_{SAT}}$ $s_n$ $\leq n$ $s'_n=s'_{n-1}s_n$ $\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$ $s'_n$
现在让NP / poly中的为任意语言，为此我们需要显示P / poly中的。存在和建议串序列与和不确定性的算法，可以决定尺寸的情况下，及时，如果它可以访问。 $L\in$ $L\in$ $p_L\geq k_L>0$ $l_n$ $\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$ $L$ $n$ $\leq n^{p_L}$ $l_n$
对于每个，可以计算出一个大小为的SAT实例（在时间），如果则可以完全满足。 $w$ $|w|=n$ $\leq c\cdot n^{p_L}$ $O(n^{p_L})$ $w\in L$
因此，对于建议字符串与，从2和4的确定性算法的组合给出了一个确定性的算法，该算法可以决定尺寸的实例在时间如果它具有访问。 $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$ $|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$ $L$ $n$ $O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$ $t_n$
由于NP / poly中的是一种任意语言，因此在NP P / poly的假设下显示NP / poly P / poly。 $L\in$ $\subseteq$ $\subseteq$

上述所有证明都是相对的，因为在相对世界中，NP完全问题的存在也是正确的。这表明搜索P / poly NP / poly 的证明是徒劳的。但是，让我们总结一下删除的动机部分 $\neq$ 来自以下问题：“建议字符串可以是正式的公理系统（自动保证是一致的，咧嘴笑），其强度随输入长度的增加而迅速增加，并且NP非常善于利用此建议。” 如果不是很注意相对于固定的形式系统，“建议串序列的存在”仅具有“正式”的含义，则该设置很可能允许构造明显的悖论。但是，这种悖论的构建可能仍然很有趣，并且它们甚至可能会建议如何构造独立性证明的方法（对于足够薄弱的形式系统）。

— Thomas Klimpel
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