最小的通用组合器

我正在寻找最小的通用组合器，该组合器是通过在lambda演算中指定这种组合器所需的抽象次数和应用程序数量来衡量的。通用组合器的示例包括：

• 大小23： λf.f（fS（KKKI））K
• 大小18： λf.f（fS（KK））K
• 大小14： λf.fKSK
• 大小12： λf.fS（λxyz.x）
• 大小11： λf.fSK

其中S = 大小为6的 λxyz.xz（yz）和K = 大小为2的 λxy.x 是SK组合器演算的组合器。本文描述了前4个示例。

我的问题是：

• 是否有尺寸更小的通用组合器？
• 最小的通用组合器是什么？

编辑：另请参阅/math//a/180263/76284，它具有λazbc.bc(a(λy.c))（大小为8，与SK基础的大小之和匹配）。有人知道如何从该组合器表达S和K吗？

应当指出，找到具有某些还原性能的组合器总是很困难，并且找到最小的这种组合器可能很容易无法决定（由于琐碎的原因，因为无法确定证明该组合器的某种应用甚至停止）。

有几个类似问题的简单开放式问题，例如TLCA开放式问题列表中的问题＃4，＃6和＃10 。

需要注意的一件事是，您的组合器肯定需要至少有2个绑定变量，其中一个是重复的（与任何完整的组合器集合一样），而一个则需要删除。我认为，这将下限设置为4（2个抽象和2个变量的外观），距离上限11并不远。

编辑：Noam的评论和参考将下限推到5！如果证明还要求同时显示额外的变量，我也不会感到惊讶，这会将我们推到了6。

对于您的第一个问题，我相信本文可能会有所帮助。它具有也是UTM的6位组合器演算。它还具有一个通用组合器，该组合器的大小似乎为7，其中包含一个您想要的元素。他们称其为Zot。 http://arxiv.org/pdf/cs/0508056v1.pdf

我不确定您是否可以说或证明有最少的组合器。该文件建议必须至少小于6位。