遗传图类可以包含几乎所有但不是全部n个顶点图吗？

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令 $Q$ 为图的遗传类。（遗传性=封闭相对于服用诱导子图）。让 $Q_n$ 表示该组在-点图形。让我们说，如果所有顶点图的分数落在，则包含几乎所有图 $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ 接近1，作为。 $n\rightarrow\infty$

问题：遗传图类包含几乎所有图，但是对于每，至少有一个图不在 $Q$ $n$ $Q_n$ ？

graph-theory

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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答案是否定的-对于固定的 $Q$ 令 $t$ 为最小图 $H$ 不在的顶点数 $Q$ 。现在，考虑 $n$ 比大得多 $t$ 。对于 $n$ 个顶点上的随机图， $t$ 第一个顶点诱导的概率 $H$ 仅取决于 $t$ 。将顶点集划分为大小为 $n/t$ 不相交的集，并考虑所有集都不等于的概率，这表明存在于中的概率趋于 $t$ $H$ $Q$ $0$ 作为 $n$ 增加。

— 达涅洛
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这更有力地证明，任何非平凡的世袭类别都包含所有图的一部分，并随着

而缩小。通过将

划分为许多不相交的

并使用相同的参数，应该有可能将其增强为更类似于

。

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago：也可以从鄂尔多斯-哈杰纳尔猜想的已知结果中直接得出无答案[ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture]。该势必得到也没有那么好（看来你只能得到一小部分

。

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— 路易·埃斯佩雷特

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@David Eppstein：我认为

正是递归地应用（

次）以下经典结果所得到的。如果存在

阶的投影平面，则可以将

的边集划分为

个不相交的

副本。

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— 路易·埃斯佩雷特

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为了补充丹尼尔的答案，世袭组合的精确密度已经得到了广泛的研究。对于类结构，未标记的切片是中具有个顶点的同构类的集合。类结构的（未标记）速度为。用表示图的类别。问题是问 $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ 对于任何遗传类图的。 $Q$

由于限始终为0世袭，一个根本的问题是再怎么的功能本身的行为。让表示的数量的整数分区，其中 $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ 。事实证明，未标记的速度“跳跃”：要么是多项式有界的，否则。 $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

JózsefBalogh，BélaBollobás，Michael Saks和VeraT.Sós，遗传图属性的未标记速度，《组合理论杂志》，系列B，99 9-19，2009年。doi：10.1016 / j.jctb.2008.03.004（预印本）

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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