寻找Borsuk-Ulam点的复杂性

所述博苏克-乌拉姆定理说，对于每一个连续的奇函数从n球体成欧几里得正空间，有一个点X 0，使得克（X 0）= 0。$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons和Su（2002）描述了一种使用Tucker引理逼近点方法。但是，尚不清楚它们的方法的运行时复杂度是多少。$x_0$

假设给定函数的oracle，并且逼近因子ϵ > 0。什么是以下项的运行时复杂度（作为n的函数）：$g$$\epsilon>0$$n$

1. 找到一个点这样| g （x ）| < ϵ？$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. 找到一个点，使得| x − x 0 | < ϵ，当x 0是满足g （x 0）= 0的点时？$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou在介绍该类的论文“关于奇偶性论证的复杂性和其他无效的存在性证明”中证明，该问题的一个版本是PPAD完全的。

他提出的问题是：

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

（旁注-很多时候，当您看到定点类型的定理时，PPAD可以很好地找到它的复杂性……）

oracle是如何给出的，我们对什么了解？如果预言是黑匣子，并且我们只知道是连续的奇数，那么对于我们可能需要无限多个问题...$g$$g$$n=1$

如果预言是由图灵机提供的，那么您会发现问题出在

1. FIXP完整，

2. PPAD完整，

输入的大小是长度。有关这些内容的介绍，请参见http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf。$\epsilon$