硬任务的计算能力在多大程度上有助于解决简单任务

简而言之，问题是：困难任务的计算能力在多大程度上真正帮助您解决了简单任务。（可以通过多种方式使这个问题有趣且不平凡，这是一种这样的尝试。）

问题1：

考虑一个电路，用于求解具有n个变量的公式的SAT。（或用于查找具有边的图的哈密顿环。） $n$

假设每个门都允许对变量计算任意布尔函数。为了具体起见，我们取。 $m$ $m=0.6 n$

强指数时间假设（SETH）断言，即使具有如此强大的门，我们也需要超多项式电路大小。实际上，每个大小至少为从某种意义上说，代表非常复杂的布尔函数（远远超出NP完整性）的部分变量的门并没有给您带来太多优势。 $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

我们可以进一步询问：

（i）我们可以拥有这样一个大小为的电路吗？吗？ $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

一个“不”的答案将极大地增强SETH。当然，也许我只是想念一个简单的“是”答案。

（ii）如果（i）的答案为“是”，那么与“仅仅”计算（例如）任意NP函数的门相比，计算任意布尔函数的门是否具有某些优势；还是只是SAT本身的较小实例？

下一个问题试图对问题提出类似的要求。 $P$

如前所述，令，为具体令。（其他值，例如，也很重要。）考虑以下电路类型： $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a）一步即可对变量计算一个任意布尔函数。 $m$

b）一步即可解决变量的SAT问题。或者，是一个由变量组成的多项式大小的任意不确定电路。 $m$ $m$

c）一步可以对个大小为变量执行任意电路（是固定的）。 $m$ $m^d$ $d$

d）一步即可执行普通布尔门。

让我们考虑为具有边的图找到完美匹配的问题。匹配具有多项式大小的电路。问题是，当您从类型d）的电路移至类型c）的电路，从大小c）的电路移至大小b）的电路以及大小为b的电路时，是否可以改善这种匹配算法的指数）到大小为a）的电路。 $n$

（这可能与关于并行计算或Oracle的众所周知的问题有关。）

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
source

其实强ETH是不是强：它只是说，你不能有一个统一的算法运行时间坐在条款，所有。在少量变量上允许任意布尔函数会使您陷入非均匀电路领域。“不一致的SETH”是一个有趣的变体，但我认为它的研究还不够深入。

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— 瑞安·威廉姆斯

亲爱的Rayan，对，我只是更愿意考虑这种不一致的情况。对问题1的否定回答将是极大地加强不一致的SETH。（我认为不均匀的SETH是SETH的增强，但也许我错了。）可能的话，您可以为统一算法重新编写问题1和2。在任何情况下，也许有如此强大的SETH版本和不统一的SETH版本，都有可能找到反例。

— 吉·凯莱

我想您要注意是什么：在SETH中，它表示变量的数量，在上面，它似乎表示输入长度。如果您允许“可以在变量实例上计算SAT”的门，那么获得变量SAT 的depth-2大小的电路很简单：对变量的所有可能赋值取“或” ，然后使用您的SAT门来解决剩余的

变量上的SAT 。但这可能不是您想要的...。

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— 瑞安·威廉姆斯

通过计算，你应该能够计算约功能与尺寸的这种电路所以我猜应该足以计算所有功能。 $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— 波阿斯·巴拉克
source

嗨，@ Boaz Barak。您介意我在此站点上合并了您的两个帐户吗？

— 列夫·雷津

谢谢波阿斯。我想这个问题的实质是：如果您远低于计算所有函数所需的条件，您仍然可以计算NP完整函数。

— 吉·凯莱