这个数论问题属于哪个复杂度类别？

'给出，有， '是。 $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by=c$ $\mathsf{NP}$

给定，，属于哪个复杂度类？ $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by^2=c$

ds.algorithms complexity-classes reductions nt.number-theory np-complete

为什么第一个问题NP完全？参考将不胜感激。:)

— Michael Wehar 2015年

@MichaelWehar，二次方丢番莲是NP完全的。我认为甚至在加里（Gary）和约翰逊（Johnson）中也是如此。

— 卡夫

它是Garey和Johnson的AN8，第250页：Manders和Adleman，“二进制二次方程的NP完全决策问题”，1978年。

— 卡夫

有理解的存在可以分解为多项式分解，因此在：使用Hasse原理，等于检查Hilbert符号所有的素数。

N P \cap c o N P

$\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}$

(a / c, b / c)_{p} = 1

$(a/c,b/c)_p=1$

p ∣ 2 a b c

$p\mid2abc$

— EmilJeřábek'15

请注意（对于整数或有理可解性），您不可能获得比分解更好的任何东西：特殊情况下（即是否为两个平方的和）已经询问是否所有质数据我所知，与分解相比，如何更有效地测试这一点，在上甚至出现了很多。cf. mathoverflow.net/q/57981。

a = b = 1

$a=b=1$

c

$c$

p \equiv 3 (\mod 4)

$p\equiv3\pmod4$

c

$c$

c

$c$

— EmilJeřábek'15

稍后添加：如评论中所述，如果a，b和c为正数，则NP上限微不足道。

定理1.2 本文显示，决定是否在两个变量的给定不定方程有一个解决方案是在NP。

— 马努
source

我不是一个很好的答案（很明显）。

这似乎可以回答所提出的问题。如果您打算提出其他条件，则需要将其包括在问题中。

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrásSalamon，事实并非如此，当和均为非负数时，NP上限似乎微不足道（因此和在，和被多项式限制）。真正的问题是NP是否困难。

a

$a$

b

$b$

x

$x$

y

$y$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

— 卡夫

@Kaveh：是的，但这不是要问的。此外，我假设a，b，c是二进制形式，所以x和y仅以指数形式限制在n中？

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrásSalamon，它们的大小以为多项式边界。如我所说，在NP中解决这个问题并不重要。本文所讨论的是一个更普遍的情况，而这个问题与之无关。

n

$n$

— 卡韦赫