通过证明上限来证明下限

Ryan Williams最近突破性的电路复杂度下限结果提供了一种证明技术，该证明技术使用上限结果来证明复杂度下限。Suresh Venkat在回答这个问题时，在理论计算机科学中是否有任何违反直觉的结果？，提供了两个通过证明上限来建立下限的示例。

• 证明复杂度上限的其他证明复杂度下限的有趣结果是什么？

• P ≠ Ñ $NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

可以绕过这个问题，并问出通过证明上限没有证明哪些下限。几乎所有的通信复杂度下界（以及依赖于通信复杂度参数的流算法下界和数据结构下界）都通过证明通信协议可以被建设性地转化为编码方案来证明，编码的长度取决于协议的通信复杂度以及协议的下限是由于您无法使用n-1位或更少的n个编码所有n位消息。

Razborov-Smolensky电路的下界通过显示如何通过低次多项式模拟边界深度的电路来工作。

时间层次定理（尽管要获得最严格的界限，需要一个高效的通用图灵机，这是一项非平凡的算法任务）和证明使用切换引理对AC0下限进行计算（但切换引理的最清晰证明使用计数/不可压缩性/ Kolmogorov复杂度）

以一种奇怪的方式，PCP定理本身就是一个通过上限证明下限的好例子。使用恒定数量的证明的探针并且仅对随机位来验证证明的“有效”随机策略导致在3SAT实例中近似满足条件的子句数的下限。$\log n$

不可压缩方法是一种基于Kolmogorov复杂度证明下界的方法。该方法的第一个应用之一是证明用单根磁带在图灵机上识别回文需要二次时间。

松散地说，此方法的思想是描述一个过程，该过程使用算法运行中包含的信息来查找输入，以解决我们在此输入上考虑的问题。过程越好，原始问题的下限越高。

当然，完整的细节可以在Li和Vitanyi的教科书中找到。

对于“通过上限进行下限”问题，您提出了以下问题：

STOC 2010论文“如何压缩交互式通信” [BBCR10]通过演示交互式通信的改进压缩协议，为随机通信的复杂性提供了改进的直接和定理。

具体而言，由于双方计算的相互输入一些关节功能（即交互式计算场景），它们表明，传达任何协议位，揭示了我的新信息，当事人可以通过使用新的协议来模拟各方位〜O（$C$$I$位-改进的上限。$\tilde O(\sqrt{CI})$

作为改进的协议压缩的结果，它们表明，在最坏的情况下：给定需要n个时间进行单独计算的函数，计算k个f的副本至少需要$f$$n$$k$$f$时间-改进的下界。$\sqrt{k} \cdot n$

这与您的要求有所不同，但是由于它是相关的，所以我想可以提一下。

Carter＆Wegman（1977）引入了通用哈希的概念。该概念被许多论文使用（Sipser（1983），Stockmeyer（1983），Babai（1985）和Goldwasser＆Sipser（1986））来证明近似下界。

直到1987年，Fortnow才使用通用哈希来证明近似上限。（实际上，提供了一个证明近似上限的协议。）

编辑：

这些不是下限结果，但无论如何它们可能有用：

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

$P\ne NP$

$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

$P \ne NP$

这是“计算复杂性：Arora和Barak的现代方法”（第128页）中的一个示例：

$EXP$$o(2^{n} /n)$ 然后 $P \ne NP$