最小正常Lambda项不是最快的示例

让的被定义如下组术语：$size$$\lambda$

• $size(x) = 1$，
• $size(λx.t) = size(t) + 1$，
• $size(t s) = size(t) + size(s) + 1$。

令$\lambda$项t的复杂度$t$定义为从$t x$到其正常形式的并行beta减少的次数（使用Levy的最佳估算器）。

我正在寻找一个相同函数的两个正常 $\lambda$ -term 的示例，其中较大的term具有较低的复杂性。

...

编辑清晰

由于似乎我要问的内容并不明显，因此我将尝试给出一个可靠的例子。通常认为，函数的“天真” /“最简单”定义是缓慢的而不是最优的。更好的性能会增加术语的复杂性，因为您需要添加数据结构，公式等。一个很好的例子是fibonacci，可以“天真的”定义为：

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

这通常被视为fib的“最简单”定义，并且非常慢（指数）。如果我们扩展fib（的定义，教堂号加法的通常定义，pred，is_zero）并对其进行规范化，则得到以下术语：

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

备注表之类的改进将使此术语更大。但是，存在一个更小的术语……

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

奇怪的是，它在渐近性上也优于天真的O(N)。在我知道的所有定义中，这既最快又最简单。排序也会产生相同的效果。诸如冒泡排序和插入排序之类的“幼稚”定义通常会扩展为庞大的术语（长20+行），但是存在一个小的定义：

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

渐近地，这比我所知道的其他定义还快。这种观察使我相信，与通常的看法相反，最简单的术语具有最小的Kolmogorov复杂度，通常更快。我的问题是基本上是否有相反的证据，尽管我很难正式化它。

Blum的加速定理通常用部分递归函数的语言来表示，但是在符号上的细微差别之前，它在微积分的语言中作用相同。$\lambda$

$M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

$\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

$M(g,x)$$g$$x$$M$

所以：

• $P$

• $P$

• $P$