内射式Karp约简下的完备性

卡普归约法是两个计算问题之间多项式时间可计算的多一归约法。许多Karp缩减实际上是一种功能。这就提出了一个问题，即每个Karp约简是否都是内射的（一对一函数）。

是否存在一个自然的完全问题，仅在多次Karp归约下才已知完成，而在注射式Karp归约下却未知？如果使用内射式Karp归约法定义完备性，我们将获得（或失去）什么？ $NP$ $NP$

一个明显的好处是，在内射式Karp约简下，稀疏集是不完整的。

cc.complexity-theory

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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为什么Karp使用多项式多项式时间减少而不是1减少？他是否受到可计算性理论中使用的约简的影响？

— Mohammad Al-Turkistany

我认为我已经在对此回应的评论中解决了这个（或一个非常密切相关的）问题：cstheory.stackexchange.com/a/172/129。

— 约书亚·格罗夫

@JoshuaGrochow注入性为我们提供了硬集密度的下界。您是否知道在内射式Karp归约法下尚未完成的任何NP完全问题？请考虑发表您的评论作为答案。

— Mohammad Al-Turkistany

Answers:

$|f(x)|>|x|$ $f$

$NP$ $P\neq NP$

$NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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长度增加函数的反函数是长度减少。还是我错过了什么？

— EmilJeřábek，2015年

另外，NP完全问题的p同构是否暗示P！= NP是因为一个琐碎的理由，即一元语言与二元语言不是同构，还是更复杂？如果允许使用有限语言，则声明有一个简单的直接证明，并且仅需要内射性：即，如果P = NP，则单元素语言在多减一的情况下是NP完全的，但在一个条件下不能是NP完全的一减。

— EmilJeřábek，2015年

为什么我们要坚持减少内射？内射性似乎与减少的目的没有任何关系，因此自然的选择是不要求它。一个人可能会强加许多其他任意限制，但这有什么意义呢？

— EmilJeřábek，2015年

当P = NP时，为什么有限集不应该是NP完全的？请注意，在这种情况下，其他愚蠢的集即使在一次归一化的情况下也是NP完全的，例如所有奇数二进制数的集。

— EmilJeřábek15年

@JoshuaGrochow我们不需要从反求inv，li来照顾相反的维数。如果我们采用两种NP完全语言，则它们都具有相对于另一种的Karp缩减（但是这些缩减通常不是彼此相反的）。如果现在我们假设可以将任何 Karp约简设为inv，li，那么我们将在两个方向上获得inv，li约简，因此通过引用的定理，它们可以转换为p同构。

— Andras Farago

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

实际上，即使是同构猜想的潜在“非自然”反例（约瑟夫和杨定理2.2 的k个创意集）也可以通过构造一一简化来完成。

[从我在这里的评论中重复：]由于我们建立的多数减一实际上是一对一的减缩，为什么我们不研究那些形式上更强的并且无论如何大多数时候都得到的？我认为是因为，即使我们通常有这种情况，也不必打扰证明内射性。从这个意义上讲，也许很多还原都是“戈尔德洛克式的还原”：恰到好处的力量，恰到好处的证明简单性。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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有关于创造力的直观解释吗？

— Mohammad Al-Turkistany

谢谢您的回答。我希望我能够接受两个答案。

— Mohammad Al-Turkistany

实际上，单数减少在密码学中很有用。假设您具有针对语言L上的NP关系R的ZK证明系统。如果要针对语言L'上的另一个NP关系R'构建ZK证明，则必须找到具有以下属性的两个函数f和g ：1. x属于L'，而f（x）属于L，2. 2.如果（x，w）属于R'，则（f（x），g（x，w））属于R. 3.另外，f和g必须有效地计算。

上述特性意味着，如果用于R的证明系统完整且健全，则用于R'的证明系统（使用上述功能以减少与另一种关系的实例的明显方式定义）也完整且健全。

如何证明新系统也是ZK或见证人无法区分（WI）？如果f是可逆的，则可以证明所获得的证明系统为ZK。否则，为了证明您必须假定R的证明系统是辅助输入ZK（而不仅仅是ZK）。对于WI，如果f是可逆的，则可以证明R'的证明系统为WI。如果没有f是可逆的事实，我不确定是否可以证明

— 文森佐·伊维诺（Vincenzo IOVINO）
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