上PIT的后果没有有效的算法

给定使得系数受限制，保持？$p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

Schwartz-Zippel引理在这里适用，因为它适用于一般字段和并且针对此问题有一种有效的随机算法。$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

我们希望此问题具有有效的去随机化。

如果此问题没有有效的去随机化，后果是什么？

由于PIT位于，因此如果没有有效的去随机化处理，则（尤其是，但这就是并不奇怪，因为我们希望无论如何都是如此。当然，这也暗示着，因此任何暗示假的。例如，不存在足够强的伪随机数生成器，将具有次指数大小的电路！$\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

您在这里想知道大问题。自然数可以用一元符号规范地表示，但是这种表示在空间上效率很低。您还可以用二进制表示法来表示它，这样可以节省空间，但不再规范，因为您还可以使用十进制表示法或十进制表示法。但是请注意，电路表示的效率远没有二进制表示的效率低，例如

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

并注意(...)*(1+1)可以将其替换为x:=(...) in x+x，因此您甚至不需要乘法。但是，因为您确实有乘法运算，所以您甚至可以高效地表示数字1011^101101。另请注意，您可以在此表示形式中有效地加，减和乘数字。但是，这种表示形式不仅限于数字，对于多元多项式函数甚至可以完全相同地工作。对于多项式，它甚至是一个很自然的表示形式，因为多项式是交换环的自由代数，并且电路表示形式可以用于任何自由代数。

但是，让我们暂时回到自然数，例如 。新泽西州怀德伯格（NJ Wildberger）写了一些超终极观点，例如《集合论》：你应该相信吗？。在部分关于自然数不过什么？承认存在像这样的数字，因为您显然可以写下它们。但是几乎所有自然数都存在于和之间$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$之所以被拒绝，是因为这些数字中的大多数将包含比物理宇宙可能代表的更多的信息。多数咆哮只是让我发笑，但是这一点让我开始思考。诸如Willard Van Orman Quine之类的哲学家一直反对声称存在未实现的可能性，因为这导致了无序的元素，而这些元素无法有意义地被说成是彼此相同且彼此不同。因此，我发现对一个数字表示仍在进行加，减和乘运算，并至少有意义地确定两个数字是否彼此不同感到怀疑。电路表示实现了...

返回自由代数的多项式和电路表示。以下是一些大问题：

• 自由代数的这种表示是否始终允许进行有效的概率恒等式检验，还是仅限于交换环？
  -> 身份测试通常甚至无法确定：对于，由元素生成的自由模块化晶格是无限的，实际上存在不可确定的单词问题（Freese，Herrmann）。$n\geq 4$$n$
• 是否有免费的代数，对其有效的确定性身份测试将使任何通常认为的猜想无效，例如P！= NP？
  -> 是的，对于常规交换环的自由代数的身份测试是NP完全的。很长一段时间没有注意到这一点，请参阅下文...
• （=交换环的自由代数）的有效确定性身份测试是否会使任何有趣的猜想无效？$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

我特别想知道这里的规则交换环（即具有广义逆运算的环）的自由代数，因为它们可以表示有理数和有理函数。请注意，如果我们仅将此表示形式用于数字，那么我们可能想知道我们是否可以有效地测试a < b此表示形式。这个问题对自由交换环没有意义，但如果我们在自由的部分有序环的上下文中对多项式进行解释，则对多项式可能有意义。但是部分有序的环只是关系结构而不是代数，因此这是另一种问题……

Schwartz-Zippel引理在这里适用，因为它适用于一般字段和并且针对此问题有一种有效的随机算法。$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

好吧，Schwartz-Zippel引理确实适用于此，并且有一个有效的针对此问题的随机算法，但是这两个事实并不直接相关。回想一下，很容易通过电路高效表示等多项式。因此，如果是电路尺寸，则容易实现或系数大小。也就是说，概率多项式身份测试仍然工作在。系数的界限类似于$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$，而您只需要随机猜测一个不能同时除以所有系数的质数。存在足够数量的阶质数以有效的概率方式执行此操作。$O(\log B)$

如果可以对 PIT 进行非随机化则将感到非常惊讶。但是以前，当素数测试被随机化时，我也发生了类似的意外。$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

另一方面，我也相信，只要测试足够长的时间，就可以使用任何合理的伪随机数生成器，从而为所有实际目的决定PIT。我只相信您永远都不会摆脱剩余的（无穷小）疑问，类似于零度量集，它们由于不为空而仍然很烦人。