检查两个多表位的等效性

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考虑的变量的矢量，和一组线性通过指定的约束。 $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

此外，考虑两个多表位

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

其中和是仿射映射。即，它们的形式为。（我们注意到，和是多面体，因为他们是多面体的“仿射映射” ）。 $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

问题是，如何确定和是否等于集合？有什么复杂性？ $P_1$ $P_2$

该问题的动机来自传感器网络，但这似乎是一个可爱的（可能是基本的）几何问题。可以通过枚举和所有顶点来解决这个问题，但是有没有更好的方法？ $P_1$ $P_2$

— 毛毛
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2

两个等同的多义位是什么意思？我立即想到三种解释：等同于集合，仿射等效和组合等效。现有的两个答案采用不同的解释。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

我的意思是等于集合。

— maomao

请编辑问题以包括该说明。不要只是在评论中留下它。问题应该是独立的：人们不必阅读注释即可了解您的要求。谢谢。

— DW 2015年

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我不能肯定地说，您是否会认为以下方法更好，但是从复杂性理论的角度来看，还有一种更有效的解决方案。这个想法是用加法和阶数在理性的一阶理论中重新表述您的问题。当且仅当，您才将包括在 $P_1$ $P_2$ 是有效的。显然，如何以相同的方式得出和等价关系。现在具有固定量词-交替前缀，并且因此是可判定在，该多项式时间层次结构的第二电平（桑塔格，1985

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ）。我非常有信心，这是可以也证明匹配的下界，我记得读书的地方有两个多面体之间的包含为

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

如果您正在寻找工具支持以在实践中解决此类问题，则诸如z3之类的现代SMT求解器将完全支持该理论。

— 克里斯多夫·哈斯
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5

潜在的多面体的事实 $Ax \le b$ 是相同的 $P_1$ 和 $P_2$ 没关系，除非我们知道一些具体的信息 $A$ 和 $b$ 。这是因为一般的多面体是单纯形的仿射投影（例如，参见齐格勒的“多面体的讲义”，定理2.15）。因此，如果 $A$ 和 $b$ 编码一个单纯形，您的问题就等同于询问一般多面体同构有多难。快速搜索揭示了Kaibel和Schwartz的以下文章：多态同构问题的复杂性，他们证明图同构很难。

— 丹尼斯·潘克拉托夫（Denis Pankratov）
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2

我认为此参数无效-它忽略了引用定理给出的单纯形的维数。（x是输入的一部分，因此任何缩减都必须确保它是多项式有界的）

— Colin McQuillan

好点子！我的主张似乎仍然可以解决，但是我们必须深入研究我引用的论文中的证据。从图开始，他们构建了一个多面体，这样，当且仅当相应的多面体是同构的时，两个图才是同构的。它们的多顶点具有多项式的顶点，并且它们的顶点描述可以在多项式时间内计算。因此，我们可以将（A，b）设为维度上的单纯形（即顶点数），将f设为仿射投影，该仿射投影给出可以从顶点描述获得的多面体。

— Denis Pankratov