死亡猜想的告

我正在寻找关于算法和复杂性的猜想，这些猜想在某个时间点被许多人认为是可信的，但后来由于越来越多的反证而被证明或至少被认为不可信。这是两个示例：

1. 随机预言假设：几乎所有相对论世界都成立的复杂性类之间的关系，在非相对论情况下也成立。结果证明了这一点$IP=PSPACE$，并且证明了$IP^X\neq PSPACE^X$对于几乎所有随机预言$X$，请参见《随机Oracle假说是假的》。

2. 有界误差随机性适当地扩展了多项式时间的幂（即$P\neq BPP$）。人们相信这已经有一段时间了，但是后来，由于复杂的去随机化结果及其与电路复杂性的联系，相反的猜想（$P=BPP$）变得很普遍（尽管仍然存在）。

还有哪些其他猜想未能通过时间检验？

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$。在得出两者相等的结果之前，我认为人们普遍认为它们是不同的，比喻为（即“非确定性和共不确定性是不同的”；在空间复杂度界限（至少是对数的界限）下，这被证明是错误的。$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

在，人们认为甚至也不包含在：在Fortnow-Sipser 1988中，他们推测情况确实如此，并给出了相对于事实的甲骨文。$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

等宽度的分支程序需要的多项式长度才能计数：在1981年Furst-Saxe-Sipser和Ajtai表明AC ⁰电路不能计数之后，自然的下一步似乎是证明多项式的等宽度分支程序长度无法计算，这被普遍认为是正确的。1986年的大卫•巴灵顿（David Barrington）表明，它们不仅可以计数，而且与NC ¹相当。

所述 -conjecture：对于任何确定的算法需要的时间。$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

这在2014年由AllanGrønlund和Seth Pettie提出，他们提出了一种确定性算法，该算法在时间内运行[1]。$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1]三人一组，简并和三角恋。艾伦·格伦德（AllanGrønlund）和塞思·佩蒂（Seth Pettie）。在《计算机科学基金会（FOCS）2014》中，第621-630页。arXiv：1404.0799 [cs.DS]

戴维斯（Davis），马蒂亚耶塞维奇（Matiyasevich），普特南（Putnam）和鲁宾逊（Robinson）对希尔伯特第十个问题的解决方案表明，递归可枚举集正是Diophantine集。

（我在这里再现博客文章，事后前，从几年，作为意见提出。）

摘自Georg Kreisel对Martin Divistine方程的决策问题的评论，作者是Martin Davis，Hilary Putnam和Julia Julia Robinson。数学。（2），74（3），（1961），425–436。MR0133227（24＃A3061）。

本文确定，每个递归可枚举（re）集都可以根据指数求和定义。[…]这些结果表面上与希尔伯特关于（通常，即非指数）丢番亭方程的第十个问题有关。作者结果的证明虽然很优雅，但没有在数字理论或重置理论中使用隐性事实，因此，目前的结果可能与希尔伯特的第十个问题没有紧密联系。同样，所有（普通的）丢丢丁问题都可以统一归结为固定数量固定程度变量的问题，如果所有重置都是丢丢丁，情况就是这样。

当然，我最喜欢的关于第十个问题的引言是从马丁·戴维斯的前言到尤里·马蒂亚耶塞维奇的希尔伯特的第十个问题。

在1960年代，我经常有一次关于希尔伯特的第十个问题的演讲。那时，人们知道存在一个满足Dijuantine方程的条件，该方程满足了Julia Robinson提出的条件。但是，产生这样一个方程似乎异常困难，实际上，普遍的看法是不大可能存在。在我的演讲中，我将强调从证明或反证这种方程式的存在将产生的重要后果。在质询期中，不可避免地会要求我对事情的结局提出自己的看法，我已经准备好答复：“我认为茱莉亚·罗宾逊的假设是正确的，而聪明的年轻俄罗斯人将证明这一点。”

该希尔伯特计划和他的“猜想”关于正式的理论可判定性。它是在1920年代初期制定的，并在1920年代和1930年代由他和他在哥廷根大学及其他地方的合作者奉行。

“有了新的数学基础（可以适当地称为证明理论），我相信通过将每条数学陈述转化为具体可展示且严格推导的公式，从而一劳永逸地解决数学中的基本问题。整个问题综合到纯数学领域。”

众所周知，希尔伯特的提议“崩溃”了（很快[1931]）到戈德尔的不完全性定理中。

有关希尔伯特计划和以后的发展的很好概述，请参见：理查德·扎克（Richard Zach）；希尔伯特计划 科学哲学手册。第5册：逻辑哲学；2006年

另请参阅安德烈斯·凯斯多（AndrésCaicedo）对故事的回答：希尔伯特的第十个问题仅在1970年才解决。

在Madhu Sudan *的一次演讲中，他声称有人认为存在这样通过在Håstad的三位PCP定理证明之前，进行半定编程。$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

实际上，SDP确实显示，从而严格限制了此类PCP的复杂性。$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

（*我发现Madhu的演讲发表在“ Rudich / Wigderson编辑的计算复杂性理论”中）

猜想范围从正式到非正式。例如，希尔伯茨关于数学可判定性的著名猜想被正式化为一些问题，例如希尔伯茨的第十个问题，但它也是横跨整个领域的更为宏大的非正式猜想。它也可以看作是拟议的研究计划。

找到这种““测的ob然”的简单方法是考虑“ meta-”陈述“ [x] ure测可以在我的一生中得到证明”。在数学文献中充斥着这样的陈述/期望，在完全无视对证明的难度和可及性的期望的意义上，这些陈述/期望被证明是“错误的”。一个经典的例子是黎曼猜想，它开放了大约1.5世纪。将相同的模型应用于复杂性理论并不容易，因为复杂性理论是一个年轻得多的科学领域。然而，这是一个关键的例子。

P与NP问题的早期发现（现在已经开放了4½年）纯属无罪，因为最初的研究人员没有而且也无法想象问题会变得多么困难或横切。为了使这一点更具体，请考虑一下由Sipser于1980年代初发明的电路复杂性领域。这是一个类似于希尔伯茨（Hilberts）的研究计划，一部分是为了攻击P对NP。Arvind在此摘要/摘录中总结了一些历史成果。计算复杂性专栏BEATCS 106：

1980年代是布尔电路复杂度下界的黄金时期。有重大突破。例如，Razborov的指数大小下限用于计算Clique函数的单调布尔电路，Razborov-Smolensky超多项式大小的下限用于具有深度_p的 MOD _p门的恒深电路。这些结果使研究人员对较大的下界问题和复杂性类别分离的进展感到乐观。然而，在过去的二十年中，这种乐观情绪逐渐变成了绝望。我们仍然不知道如何证明具有MOD ₆门的恒定深度电路的超多项式下界，该函数可在指数时间内计算。

有两篇关键论文使该领域的希望落空。拉兹伯洛夫（Razborov）在集团功能方面取得了举世瞩目的成就，但随后发表了两篇对立论文。一篇论文表明，匹配是一个P时间问题，需要指数单调电路，因此在某种意义上，由于缺乏与非单调（“完整”）电路（仍然不完全）的复杂度对应关系，单调电路下限方法受到了阻碍。了解）。

这在他与Rudich合着的著名论文《自然证明》中得到了扩展，其中证明了所有先前的电路下界证明均受特定模式的约束，该模式在与硬随机数生成器的猜想下界冲突的意义上具有可证明的弱点。密码学。

因此，在某种程度上，电路已经“从宽限期掉下来”。它仍然是一个庞大的研究领域，但是在技术成果的支持下，传统观点认为，即使实际上可能，仍需要某种特殊的，尚不为人所知的证明模式/结构，才能在该领域取得显著成果。实际上，类似地，有人可能会建议，即使现在看来，即使是“复杂性理论的强大下限”，整体上也非常困难，这在该领域的较年轻时期并未得到广泛的期望/预测。但另一方面，这又将他们的难度/重要性/重要性与大型（开放式）数学问题联系在一起。