定向多图作为最小自动机

使用常规语言 $L$ 在字母上 $A$，其最小确定性自动机可以看作是具有恒定出度的有向连通多图 $|A|$和标记的初始状态（通过忘记转换标签，最终状态）。我们保持初始状态，因为每个顶点都必须可以访问。

相反是真的吗？即给出有向连通多重图$G$ 具有恒定的向外度和初始状态，以便可以从中访问每个顶点，是否始终有一种语言 $L$ 这样 $G$ 是最小自动机的基础图 $L$ ？

例如，如果 $|A|=1$ 的确如此，因为图形必须是带有大小前缀的“套索” $i$和大小为的循环，并且对应于的最小自动机。$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

动机来自可判定性降低中遇到的一个相关问题，在该问题中解决方案更容易：从无方向的简单图形开始，并允许进行更多的操作（例如添加接收器）。但是我想知道是否有人已经看过这个更自然的问题？

在文献中，我唯一能找到的与远程连接的东西是诸如带有规定的复位词的道路着色的复杂性之类的论文，其目标是为这种多图着色，以使生成的自动机具有同步词。但是，似乎没有考虑最小化。

更新：在回答克劳斯·德拉格之后的后续问题：确定图形是否具有这种形状的复杂性是什么？我们可以猜测标记并多项式验证自动机的极小性，所以它在NP中，但是我们可以说更多吗？

任何吸收节点必须要么接受要么不接受（这样，一旦输入，要么接受所有内容，要么不接受任何内容）。如果该图具有两个以上的吸收节点，那么对于任何标记和接受集的选择，它们中的一些最终将等效。$n$$n$

更一般而言，对于任何强连通图，只有有限数量的个不同的可能标记和接受子集；如果您的图具有大于等于终端强连通分量（例如，附加在树的叶子上），则它不能对应于任何最小自动机。$H$$n(H)$$n(H)$$H$

编辑，关于后续问题：听起来很棘手。我的论点建议的一种方法可能是这样的：

• 将划分为SCC。这很便宜；使用Tarjan算法的。$G$$O(|V|+|E|)$
• 将SCC分为同构类。不幸的是，图同构在是未知的。$P$
• 对于每个终端同构类，确定允许的相应子自动机的数量，如果数量不足，则失败。请注意，并不是接受子集和边缘标记的每种组合都是允许的：例如，假设我们的字母是，并且组件有两个节点，每个节点都有一个自环，而另一个节点则有一个边缘。使两个节点都接受并用（两个边缘都用）标记两个循环，得到一个自动机，该自动机类似于单个吸收状态，从而违反了最小化要求。$\{a,b\}$$a$$b$
• 将DAG中其余的SCC视为类似，并考虑到较低的SCC；我对这部分的细节有些模糊。

这是一个步骤，其复杂性众所周知地是开放的，而看起来似乎又可能需要指数级的时间（因为在确定允许的自动机时，可能会有成倍地分成双相似性类的多个分区被排除在外）。我们可以做得更好吗？