可以在恒定时间内解决的非平凡问题？

恒定时间是时间复杂度的绝对下限。也许有人会想：在恒定时间内可以计算出任何平凡的东西吗？如果我们坚持使用图灵机模型，那么将无能为力，因为答案只能取决于输入的恒定长度的初始部分，因为输入的其他部分甚至无法在恒定时间内到达。

另一方面，如果我们采用功能更强大（更现实）的单位成本RAM模型，其中对位数字的基本运算被计为单个步骤，那么我们也许能够解决非平凡的问题任务，即使是在恒定的时间。这是一个例子： $O(\log n)$

实例：整数，每个整数以位的二进制格式给出。 $n, k, l, d$ $O(\log n)$

问题：是否存在一个顶点图，其顶点连通性为，其边缘连通性为，其最小度为？ $n$ $k$ $l$ $d$

请注意，从定义来看，问题甚至不在于NP。原因是自然见证人（图形）可能需要位长的描述，而输入仅由位给出。另一方面，以下定理（请参阅B. Bollobas的《极值图论》）得到了拯救。 $\Omega(n^2)$ $O(\log n)$

定理：令为整数。当且仅当满足以下条件之一时，存在一个具有顶点连通性，边缘连通性和最小度的顶点图： $n, k, l, d$ $n$ $k$ $l$ $d$

， $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$
$1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
$k=l=d=n-1.$

由于可以在恒定时间内检查这些条件（在单价RAM模型中），因此在该模型中，定理导致了恒定时间算法。

问：恒定时间算法还有哪些其他重要的例子？

cc.complexity-theory ds.algorithms time-complexity

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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验证概率可检查的证明计数吗？

— 戴维·埃普斯坦

不要以为您的示例是

时间。输入的长度为

，在这种情况下，典型的字RAM将只允许一步执行

位操作。（另一种方法是让字长正比于输入的长度，但在这种情况下，一个可以说出许多“固定时间”的算法......），你可以尝试对长度的字符串添加

这些数字后，后来我没有看到如何检查该格式在

运行情况

O (1)

$O(1)$

m = O (\log n)

$m=O(\log n)$

O (\log m)

$O(\log m)$

\geq n

$\geq n$

O (1)

$O(1)$ 时间：似乎您必须检查（例如通过二进制搜索）总字符串长度确实为

，这需要

时间。

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

\log n

$\log n$

— 瑞安·威廉姆斯

我认为David Eppstein的建议指向了一个更有趣的方向：考虑随机 O（1）时间算法。至少在那种情况下，您可以希望在至少一次算法运行中访问每个输入位。

— 瑞安·威廉姆斯

随机O（1）-时间算法的一个简单示例是近似中值（在将输入大致分割为50-50的意义上为近似值）。只需从输入中随机均匀地选择1000000个元素，计算其中值，然后输出即可。

— Jukka Suomela 2015年

我喜欢您的问题，但是您的示例的缺点是它依赖于数学定理。将其推到极限，您可以说：实例正整数

。问题是否存在

的整数，使得

（答案为是或否）。好吧，确实存在一个恒定时间算法，因为答案始终是False，但这显然不是您想要的示例。

x, y, z

$x, y, z$

n > 2

$n > 2$

x^{n} + y^{n} = z^{n}

$x^n + y^n = z^n$

— J.-E.

Answers:

Nguyen和Onak 的论文《通过局部改进的恒定时间近似算法》给出了许多随机恒定时间近似方案的示例：最大匹配（运行时间仅取决于图形的最大程度），设置覆盖率等。提出了一种设计这种算法的方法。

— 拉明
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有许多在组合博弈论中研究过的博弈示例，其中博弈的状态可以用恒定数量的整数值来描述。对于其中一些，可以在恒定时间内计算出游戏的获胜策略。但是他们也对您的计算模型究竟是什么提出了疑问。

最简单和最基本的组合游戏之一是尼姆：一个拥有恒定数量的豆类，并且您可以一举将一堆豆中的任何数量的豆类删除，无论是赢还是输（取决于您选择的规则）如果您拿了最后一个豆子。如果允许按位布尔异或运算（例如，C / C ++ / Java /等编程语言中的^运算符），则可以在恒定时间内计算出最佳策略，这是模型中的恒定时间算法吗？

这是已知存在恒定时间精确确定性算法的算法（在一个可能不切实际的扩展计算模型中，该模型允许您在恒定时间内测试数字的素数），但不知道该算法是什么：给定起点在Sylver造币游戏中移动，确定它是成功还是失败。在Berlecamp，Conway和Guy，Winning Ways中给出了解决此问题的流程图，但这取决于对获胜举动的一般描述的有限反例集，并且不知道该集是什么（甚至是否是空）。

组合博弈论的另一个有趣示例是Wythoff的博弈。每个游戏位置都可以用一对整数（即您的计算模型中的恒定空间）描述，游戏中的移动涉及将这两个整数之一减小为较小的值，而获胜策略则涉及移动到一个位置这两个整数之间的比率尽可能接近黄金比率。但是在许多游戏位置中，您都可以选择：您可以将两个整数中的较大者减小到（接近）较小整数乘以黄金比例的程度，或者将较小的整数除以黄金比例。这两个选择中只有一个是制胜法宝。因此，可以根据恒定数量的算术运算来定义最佳策略，但是这些运算涉及非理性数，即黄金分割率。这是模型中的固定时间算法吗？也许吧 $n$ $\log n$

— 大卫·埃普斯坦
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谢谢，这些都是有趣的例子。他们还很好地阐明了“恒定时间”的概念比我最初想象的要清晰的事实……

— Andras Farago

$|G|$ $G$ $p$ $m$ $m$ $|G|$ $G$ $p$ $m$ $G$ $|G|$ $m$ $m$ $m$

— Orgesleka
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