给定一个有4个周期的自由图，我们可以确定它在二次时间内是否有一个3个周期？

所述 -cycle问题如下： $k$

实例：一个无向图具有个顶点，最多边。 $G$ $n$ $n \choose 2$

问题：是否存在一个（适当的） $k$ 周期？ $G$

背景：对于任何固定的 $k$ ，我们可以在时间内求解 $2k$ 周期。 $O(n^2)$

拉斐尔·尤斯特（Raphael Yuster），乌里·茨维克（Uri Zwick）：更快地找到偶数周期。SIAM J.
离散数学。10（2）：209-222（1997）

但是，还不知道我们是否可以在不到矩阵乘法时间的情况下求解3个周期（即3个周期）。

我的问题：假设 $G$ 包含4个周期，我们能否在 $O(n^2)$ 时间内解决3个周期的问题？

David建议了一种在时间内解决3周期问题变体的方法。 $O(n^{2.111})$

— 迈克尔·韦哈
source

似乎如果图的最小循环的长度至少为5，则它最多具有边。链接：link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

G

$G$

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar，2015年

其他信息可以在本文中找到：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— Michael Wehar 2015年

我想您可能也对Eisenbrand，Friedrich和Fabrizio Grandoni感兴趣。“关于固定参数集团和支配集的复杂性。” 理论计算机科学326.1（2004）：57-67。（以防您尚未意识到）。

— Juho 2015年

Answers:

是的，这是众所周知的。它出现在关于三角形查找的必不可少的参考文献中...

即，Itai和Rodeh在1978年的SICOMP中展示了如何在时间中找到图中的一个循环，该循环最多比最小长度循环多一个边。（请参见摘要的前三句话：http : //www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf）这是一个基于广度优先属性的简单过程搜索。 $O(n^2)$

因此，如果您的图形没有4个周期，并且有一个三角形，则他们的算法必须输出它，因为它不能输出5个周期或更大的值。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

这不是正方形，而是阿龙Yuster和兹维克（“查找和给定的计数长度循环”，Algorithmica 1997）给出的算法中的时间找到三角形，其中是用于快速指数矩阵乘法。对于4周期-自由曲线图，在堵塞和（否则是有 -cycle不管存在的 -cycles）给出时间 $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ $4$ $3$ 。 $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— 大卫·埃普斯坦
source

这很棒！对此，我真的非常感激。:)

— Michael Wehar 2015年

是的，如果图没有4个循环，那么它最多为

边缘。链接：books.google.com/...

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— 迈克尔Wehar

如果我错了，请随时纠正我。看来鄂尔多斯（Erdos）的“偶数电路定理”说，如果一个图是

周期自由的，那么它最多具有

2 k

$2k$

边缘。链接：sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— 迈克尔Wehar

结果，如果一个图形没有6个周期，则它最多具有

边缘。因此，我们可以使用David建议的方法确定它是否具有

时间的3个循环。:)

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$

— Michael Wehar 2015年

此外，对于任何固定的

，如果

是

自由周期，那么我们可以确定

在次二次时间内是否具有3个周期，因为

没有太多的边。但是，当

时，事情就变得有趣了。我们可以击败

吗？

k > 2

$k > 2$

G

$G$

2 k

$2k$

G

$G$

G

$G$

k = 2

$k = 2$

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$

— Michael Wehar 2015年