k-Clique的2FA状态复杂度？

简单形式：

双向有限自动机可以识别包含状态的三角形的顶点图吗？ $v$ $o(v^3)$

细节

这里有趣的是使用一系列边编码的顶点图，每个边是一对来自的不同顶点。 $v$ $\{0,1,\dots,v-1\}$

假设是双向的有限自动机的一个序列（确定性或不确定性），使得识别 -Clique上 -点输入的图形和具有状态。问题的一般形式是：吗？ $(M_v)$ $M_v$ $k$ $v$ $s(v)$ $s(v) = \Omega(v^k)$

如果对于无限多个，且，则NL≠NP。因此，我不太那么雄心勃勃地规定是固定的，并且情况是第一个平凡的情况。 $k = k(v) = \omega(1)$ $s(v) \ge v^{k(v)}$ $v$ $k$ $k=3$

背景

双向有限自动机（2FA）是图灵机，它没有工作空间，只有固定数量的内部状态，但是可以来回移动其只读输入。相反，通常的有限自动机（1FA）仅将只读输入头沿一个方向移动。有限自动机可以是确定性（DFA）或不确定性（NFA），并且可以单向或双向访问其输入。

图属性是图的子集。令表示具有属性的顶点图。对于每个图属性，语言可以由具有最多个状态的1DFA识别，方法是对每个可能的图使用状态，并根据对其进行标记，并在边缘标记的状态。因此，是任何属性的常规语言。然后根据Myhill-Nerode定理，可以识别的唯一唯一同构最小的。如果它有 $Q$ $Q_v$ $v$ $Q$ $Q$ $Q_v$ $2^{v(v-1)/2}$ $Q$ $Q_v$ $Q$ $Q_v$ $2^{s(v)}$ 状态，则标准爆破范围会导致2FA识别 $Q_v$ 至少具有 $s(v)^{\Omega(1)}$ 状态。因此，对于任何（即使很难确定），这种通过标准爆破界限的方法最多只能在2FA中的状态数上产生最多的二次方 $v$ 下限。 $Q_v$ $Q$

$k$ -Clique是包含完整的顶点子图的图属性。识别 -Clique可以通过1NFA来完成，该方法首先不确定地选择不同的潜在 -clique中的一个来寻找，然后扫描输入一次，寻找每个所需的边来确认小组，并使用状态为每个不同的潜在小组跟踪这些边缘。这样的1NFA具有状态，其中。当固定时，这是 $k$ $k$ $_v$ $\binom{v}{k}$ $k$ $2^{k(k-1)/2}$ $\binom{v}{k}2^{k(k-1)/2} = (c_v 2^{(k-1)/2}/k)^k.v^k$ $1 \le c_v \le e$ $k$ $\Theta(v^k)$ 状态。允许双向访问输入可能会改善此单向范围。然后，问题是要求 $k=3$ 是否2FA可以比1FA上限更好。

附录（2017-04-16）：另请参阅确定性时间的相关问题以及涵盖最知名算法的好答案。我的问题集中在非一致的不确定空间上。在这种情况下，省时的算法所使用的矩阵乘法的减少比强力方法差。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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我真的很喜欢这个问题！谢谢你的分享！:)

— Michael Wehar 2015年

这在我看来，三角形可以通过2FA做与状态（n为顶点的数量）。 $A$ $O(n^2)$

对于，想法如下： $k=3$

在阶段1中，选择某个边并以其状态存储 $A$ $(i,j)$ $(phase 1,i,j)$
在阶段2中，它移动到或形式的某个边缘，并呈现状态 $(i,m)$ $(m,i)$ $(phase 2,j,m)$
在阶段3中，它检查是否存在边或并在找到边时采取接受状态。 $(j,m)$ $(m,j)$

实际上，这几乎可以用从左到右的方式来完成（然后可能不确定地决定在阶段2中先决定或）。但是，如果第二条边的形式为，则需要先读取，然后再读取，即，此处需要一个左移。 $A$ $(j,m)$ $(m,j)$ $(m,i)$ $A$ $i$ $m$

通过首先猜测大小为的集合并进行测试，得出节点通过边和成对连接，这会导致状态具有自动状态-为的群体求，对于上述i，j，m中的每一个，检查它们是否具有所有节点的边缘。 $O(n^{k-1})$ $k$ $k>3$ $S$ $k-3$ $S$ $S$

— 托马斯·S
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我看不出这是吗？正在跟踪三个顶点。

O(n2) $O(n^2)$

i,j,m $i,j,m$

— 安德拉斯·萨拉蒙

一次只有两个。阶段2中的读取是在两个转换中完成的。在读取，基本上从（阶段1，i，j）变为（阶段1a，i，j）（表明，它刚刚看到了），并在下一步进入（阶段2，j，m）。在这一点上，它已经用完成了，因为它已经看到和，只需要检查。

(i,m) $(i,m)$

i $i$

A $A$

i $i$

(i,j) $(i,j)$

(i,m) $(i,m)$

(j,m) $(j,m)$

— Thomas S

如果边和顶点的数量大致相同，那么我认为这很好，但是有趣的情况是。换句话说，我认为您的方法至少使用状态。

e=Ω(v2) $e = \Omega(v^2)$

v⋅e $v \cdot e$

— Michael Wehar 2015年

我想你是对的。如果输入格式很好，则可以使用。:)

— Michael Wehar 2015年

@Marzio：不，它说（不，它说确定性或不确定性）

— Thomas S