在准多项式时间内有一个自然的问题，但在多项式时间内没有吗？

LászlóBabai最近证明 了图同构问题是在拟多项式时间内。又见他的 谈话在芝加哥大学， 音符由杰里米·昆会谈 GLL后1， GLL后2， GLL后3。

根据拉德纳定理，如果$P \neq NP$，则$NPI$不为空，即$NP$包含$P$或 -complete 都不存在的问题。但是，Ladner构建的语言是人为的，不是自然问题。 即使有条件地在下，也没有自然问题出现在。但是一些问题被认为是良好候选者，例如分解整数和GI。$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

我们可能会认为，根据Babai的结果，可能会有针对GI的多项式时间算法。许多专家认为$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$。

对于某些问题，我们知道准多项式时间算法，但是没有多项式时间算法是已知的。这些问题出现在近似算法中。一个著名的例子是有向Steiner树问题，针对该问题，存在一种准多项式时间逼近算法，该算法实现了的逼近比 （是顶点数）。但是，显示这种多项式时间算法的存在是一个未解决的问题。$O(\log^3 n)$$n$

我的问题：

我们知道中有任何自然问题，但没有吗？$QP$$P$

实际上，最近已经有很多关于证明拟多项式运行时间下限的计算方法，这些运行时间下限主要是基于指数时间假设。以下是一些我认为很自然的问题的结果（以下所有结果均取决于ETH）：

• Aaronson，Impagliazzo和Moshkovitz [1]显示了密集约束满足问题（CSP）的拟多项式时间下界。请注意，本文中定义CSP的方法允许将域扩大为多项式，因为已知域较小的情况具有PTAS。

• Braverman，Ko和Weinstein [2]证明了拟多项式时间下界，可以找到最佳ϵ-近似Nash平衡，它与Lipton等人的算法相匹配[3]。$\epsilon$$\epsilon$

• 布雷弗曼，柯，鲁宾斯坦和温斯坦[4]示出了准多项式时间下限为近似最密集 -subgraph具有完美完整性（即给定的包含的曲线图ķ -clique，发现尺寸的子图ķ即（1 - ϵ ）-集中一些小常数ϵ）。同样，对于这个问题有一个拟多项式时间算法（Feige和Seltser [5]）。$k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

参考文献

1. AM与多个Merlins。2014年6月，在计算复杂性（CCC）中，2014年IEEE第29届会议，第44-55页。

2. Mark Braverman，Young Kun Ko和Omri Weinstein。在 -时间中逼近最佳纳什均衡将打破指数时间假设。在《第二十六届ACM-SIAM离散算法年度研讨会论文集》中，SODA '15，第970-982页。暹罗，2015。$n^{o(log n)}$

3. 理查德·利普顿（Richard J. Lipton），伊万格洛斯·马克基克斯（Evangelos Markakis）和阿兰亚克·梅塔（Aranyak Mehta）。使用简单的策略玩大型游戏。在第四届ACM电子商务会议论文集中，EC '03，第36-41页，美国纽约，纽约，2003年。ACM。

4. Mark Braverman，Young Kun-Ko，Aviad Rubinstein和Omri Weinstein。Densest- 子图的ETH硬度具有完美的完整性。计算复杂度电子学术讨论会（ECCC），2015年22月74日。$k$

5. U. Feige和M. Seltser。关于最密集的子图问题。技术报告，1997年。$k$

米吉多和Vishkin证明，在比赛中最小支配集是在。他们表明锦标赛主导集具有P时间算法，而SAT具有次指数时间算法。因此，除非ETH为假，否则锦标赛控制集问题不能出现在P中。$QP$$P$

这是要注意的非常有趣的是，指数时间假说同时意味着赛事支配集不能有多项式时间算法，它不能 -complete$NP$。换句话说，ETH暗示锦标赛主导集在中级。$NP$

Woeginger建议在准多项式时间内可解决的候选问题，并且可能没有多项式时间算法：给定整数，您是否可以选择对数n加0的整数？$n$$\log n$$0$

计算VC维似乎不太可能在多项式时间内，但是具有准多项式时间算法。

而且，似乎很难在随机图中检测到大小为的已植入群体，但可以在准多项式时间内找到它。尽管这个承诺问题的性质与上面提到的其他问题有所不同。$O(\log n)$

如果指数时间假说是正确的（甚至是更弱的形式），那么对于多项式时间内变量的gloglog数量的实例，则无法求解3SAT。当然，准多项式时间可以轻松解决此类情况。

虽然我们知道在时间类别一定存在问题，但它不在T （n ）中，但对于任何T （n ）来说，这都不是一个有用的自然问题（这是复杂性的标准结果） 。无论如何，找到在QP中而不在P中的问题将是一个巨大的结果。目前，我们甚至不知道NP中自然问​​题所需要的时间，比一般RAM模型中的二次时间还多。因为下界确实真的很难。因此，诉诸以太坊，独特的游戏猜想，祈祷并证明问题是NP完全的。$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

解决奇偶性游戏最近已在QP中显示：https： //www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

奇偶校验博弈在许多形式验证上下文中自然产生，例如LTL合成和$\mu$演算可满足性。

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$。此外，在过去的二十年中，针对它们的确定性算法的指数也得到了反复的改进（有关调查，请参见上面链接中的介绍）。

但是，上述最新论文大大提高了QP。这些游戏是否在P中仍是未知的。

在经典算法中， Aram Harrow，Saeed Mehraban和Mehdi Soleimanifar 提出的量子多体系统的相关衰变和分配函数的复零

一种准多项式时间经典算法，该算法可估算温度高于热相变点时的量子多体系统的分配函数

被表达。

关于问题的“但不是多项式时间”部分，在这里不能说太多。考虑到以前的工作历史，可能甚至会在以后找到多项式时间算法，请参见下文。

“估计分区函数”与近似算法有何关系？先前的工作（第11页）：

最近有一种概念上不同的方法来估计分区函数，这是这项工作的基础。这种方法将分区函数视为高维多项式，并使用截断的泰勒展开式将解在计算上容易的点扩展为参数的非平凡形式。自从引入[Bar16a]以来，该方法已用于针对各种有趣问题（例如有界图上的铁磁和反铁磁伊辛模型[LSS19b，PR18]）获得确定性算法。

包括

[LSS19b] Liu Jingcheng，Alistair Sinclair和Piyush Srivastava。Ising分区函数：零和确定性近似。统计物理学杂志，174（2）：287-315，2019. arXiv：1704.06493

在该部分的相关工作中提到了以下内容：

在并行的工作中，Barvinok开始研究分区函数对数的泰勒逼近，这导致了用于多种计数问题的拟多项式时间逼近算法[6、7、9、10]。最近，Patel和Regts [41]指出，对于可以写为诱导子图和的几种模型，实际上可以从这种方法中获得FPTAS。

[41] V. Patel和G. Regts。分区函数和图多项式的确定性多项式时间近似算法。SIAM J. Comput。，46（6）：1893-1919，2017年12月。arXiv：1607.01167

总之，“估计分区函数”与近似算法密切相关，并且已经针对各种计数问题存在拟多项式时间近似算法，并且已经获得了其中的一些FPTAS。因此，总的来说，与分区函数有关的此类问题似乎都产生了拟多项式时间逼近算法，但是通常以后的改进可以实现多项式时间。