“几乎容易”的NP完全问题

我们可以说，如果存在一种可以在几乎所有输入上正确确定的多项式时间算法，则语言 $L$ 是P密度封闭的。 $L$

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

注意，不必稀疏。例如，如果它具有位字符串，则它仍将消失（以指数速率），因为。 $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

根据上面的定义，不难（人工地）构造为P-密度接近的NP-完全问题。例如，令为任何NP完全语言，并定义。然后保留NP完整性，但最多具有位yes-instances。因此，对每个输入都回答“否”的简单算法将在几乎所有输入上正确地确定。它只会在位输入的小数上出错。 $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

另一方面，如果所有 NP完全问题都是P密度接近的，那将是非常令人惊讶的。从某种意义上讲，这意味着所有NP完全问题几乎都是容易的。这激发了一个问题：

假设P NP，哪些是 自然的NP完全问题而不是 P密度接近？ $\neq$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
source

由于Heuristica不排除，甚至没有对其中p≠NP是众所周知的暗示问题不是几乎P.一个不必然自然问题

我认为职位对应问题是一个很好的候选问题。即使对于均匀随机的实例也很难，因此在平均情况下很难。

— Mohammad Al-Turkistany

FYI：您的选择命名的，而自然，有一些现有的命名冲突：类几乎-P由这些语言L，使得该

有措施1.您可能也有兴趣知道，稀疏您定义的版本已被使用，并且与其他一些想法有关，请参阅P-close。给定P-close的定义，对于您的概念而言，一个好名字叫P-密度-close或P-close-enough :)。

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow 2015年

另一方面，“ 图形着色 ”决策问题可能是此类问题的候选者。

$\;$

我不认为这是正确的定义。如果

的密度消失，那么无论它多么困难，通过任何琐碎的语言

都“几乎容易” 。然而，这是很难过字母表呈现自然很难语言

与密度，它不会消失编码，仅仅是因为。交集应该不是大小为

有效输入（所以这是一个承诺问题），而不是所有字符串吗？否则，这主要需要回答以下问题：是否存在某种密度不变的NP硬语言的布尔编码？

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— 安德拉斯·萨拉蒙

我研究了复杂性理论中是否存在一个普遍接受的假设，这意味着必须存在一个在几乎所有输入（如问题所定义）中都不能在多项式时间内接受的NP完全语言。

有趣的是，最“标准”的假设似乎并不暗示这一点。也就是说，它似乎并没有遵循（除非我忽略了的东西）P NP，P BPP， NP CONP，ē NE，EXP NEXP，NP PSPACE， NP EXP，NP P /聚，PH不会崩溃，等等。 $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

另一方面，我发现了一个稍微不那么标准的假设，尽管该假设不自然，但这确实暗示了所寻求的NP完全问题的存在。在理论资源界定测量的基本假设是，NP不具有 -measure零，记为 NP 。非正式地，这意味着E中的NP语言不会形成可忽略的子集。有关详细信息，请参见此处的调查。在这一理论中，他们证明，在许多其他事情，是 NP $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ 表示NP中存在P-bi免疫语言。如果或其补语在P中没有无限的子集，则语言是P-bi免疫的。这样的语言在很大程度上满足了我们的要求。 $)\neq 0$ $L$ $L$

但是，仍然不清楚是否存在一个代表自然问题的例子。

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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碧免疫力也很多比你的条件强，是关系到“几乎所有”的结构复杂性理论，即较为常见的用法“为所有，但有限多个” ...

— 约书亚Grochow

@JoshuaGrochow我同意，但是从某种意义上来说，P-bi免疫似乎 太强了 。在自然的NP完全问题中似乎没有发生这种情况。令我惊讶的是，显然没有任何结果仅为“几乎几乎到处都是”难处理的NP完全语言的存在提供条件。所谓“几乎到处都是弱”，是指“几乎没有很多”条件被“几乎没有很多”所代替。这可能与实际遇到的问题更好地相关。

— Andras Farago

是否已知NP是p可测量的？

@RickyDemer据我所知，尚不清楚NP是否可p测量。

— Andras Farago 2015年