不使用Karger算法的图的最小切数

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我们知道，可以使用Karger的mincut算法（以非建设性的方式）证明图可以具有的最大mincut数量为。 $n \choose 2$

我想知道我们是否可以通过从一组mincut到另一组基数给出双射的（而不是单射的）证明来证明这一身份 $n \choose 2$ 。没有具体原因，这只是出于好奇。我尝试自己做，但到目前为止还没有成功。我不想让任何人浪费时间在上面，因此，如果问题似乎毫无意义，我将要求主持人采取相应行动。

最佳-阿卡什

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics graph-algorithms max-flow-min-cut

— 阿卡什·库马尔（Akash Kumar）
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Kumar是一个

n

$n$ 顶点集团，具有

n

$n$ 最小切割，将每个顶点与图的其余部分分开，因此最小切割的数量可能少于

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$ 。

— Marcus Ritt

2

这是组合证明的非常容易理解的注解。cs.elte.hu/egres/qp/egresqp-09-03.ps

— 赵超

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该绑定我认为迪尼茨，Karzanov和罗蒙诺索夫在1976年最初证明，在“一图的所有最小割系统的结构”。也许您可以在本文中找到所需的内容，但是我不确定它是否在线。 $\binom{n}{2}$

— 耶拉尼·尼尔森（Jelani Nelson）
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谢谢jelani ....试图在线查找论文。到目前为止没有运气。我想我会去尝试我大学的图书馆。同时，如果您有时间（并且愿意），可以尝试突出本文的一些关键思想吗？如果可以，那就太好了。再次感谢！

— 阿卡什·库马尔

1

抱歉，我不知道他们的证明是如何工作的。：/显然，可能有较早的证据暗示Robert Bixby的某些工作。您可以通过谷歌搜索找到比我更多的信息（或者也许知道更多的人可以在这里提供更好的答案）。我很好奇自己听到的答案...我记得当我第一次学习Karger算法时曾想过这个问题。

— Jelani Nelson

2

非正式地，人们可以争辩说，为了拥有最大数量的最小切割，图中的所有节点都必须具有相同的度数。

让我们将图分为两个节点和，使。设图中的最小切割数为。 $G$ $C$ $\bar C$ $C \cap \bar C=\emptyset$ $mc(G)$

考虑一个具有个顶点的连接图，其中每个顶点的度为2。这必须是循环图，最小切割为两个边。显然，切割任意两个边缘将导致切割，并且这种切割是最小切割。由于存在不同的边对，因此存在最小切割。 $n$ $n(n-1)/2$ $n(n-1)/2$

通过从循环图中删除边来制作新图。新图的最小切割数是一条边，切割任何一条边就足够了：可以进行这样的切割。 $n-1$

通过向循环图添加边来制作新图。现在，两个节点的等级为3，节点的等级为2。度三个节点必须同属或同属。请注意，在循环图的情况下，没有节点被限制同时出现在或。含义是添加一条边会增加约束，从而减少最小切割的次数。 $n-2$ $C$ $\bar C$ $C$ $\bar C$

将更多节点提升到三级会增加额外的约束，直到第二级只有一个最小限度的减少。

前述表明，循环图是（至少）的局部最大值。 $mc$

考虑图的集合，其中每个节点的度数为3。删除边会产生一个最小切为2的图形。如上所述，添加一条边会产生两个节点，这些节点大多数出现在切口的同一侧。

这表明每个节点的度数为是局部最大值。注意整个图的个大小为切口表示这是一个递减函数。 $k$ $mc$ $mc=n$ $n-1$

我还没有考虑过是否可以将上述内容形式化，但这代表了一种可能的方法。

另外，我认为Bixby论文耶拉尼·尼尔森（Jelani Nelson）在其答案的评论中提到的标题为“具有n个连通性和M个n键连通性的图形中的最小边和顶点数”（链接）

— 理查德
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