PCP定理-字母缩减步骤

接下来的事情可能看起来很愚蠢（这可能反映了我的理解不深-请耐心等待）

我对PCP定理有疑问。我们知道在前三个步骤之后。降阶，Expanderization和Gap扩增，我们有一个约束图具有改进的间隙和巨大的字母表尺寸（像Σ d 吨）。字母缩小步骤解决的就是这个问题。$G$$\Sigma^{d^t}$

我的问题是，正如Venkat Guruswami的讲义“合成入门”中所概述的那样，在我看来，高层的想法是将边e上的约束表达为对布尔变量的布尔约束。这本身无法实现任何目的，我们还需要在此边缘上应用PCP减少量P e。这看起来像是对PCP的递归调用，这让我开始有些担心。看来这种递归调用会再次炸毁字母表的大小。$c_e$$e$$P_e$

作者观察到此递归具有“基本情况”，即-“内部” PCP减少仅适用于恒定大小的约束，从而提供了一些解释。

（通过这种方式，我了解到仅当我们在单个边界上查看约束时才调用内部递归，这是一个二进制约束，但是我仍然没有克服担心以某种方式仍会炸毁字母大小的担忧而不是缩小）。在我看来，除非我们采用一些不同的方法来处理基本情况，否则递归重复Gap Amplification步骤只会使字母大小变大，从而使情况变得更糟。$c_e$

我希望我的查询（尽管很愚蠢）可能很清楚。请让我知道我缺少什么（或被误解了）。

您是在询问Dinur关于PCP定理的证明。字母缩减步骤确实使用了PCP，但是PCP的参数与您构造的参数完全不同，因此不必使用递归来构造它。特别是，在Dinur的证明中，由于此用于内部字母缩减的内部PCP应用于恒定大小的输入，因此我们不在乎它是否具有巨大的爆炸（例如指数级或什至更多）爆炸，这使得比较容易给出直接构建足够好的PCP。

包括该阶段在内的整个证明都在多个地方进行了描述（请参阅对该问题的回答），因此您可能会发现一个更喜欢的描述。特别是，在我与Sanjeev Arora撰写的复杂性教科书中，第11章和第22章对此进行了介绍，我们提供了两种替代方法来实现字母减少步骤。一种是在正文中使用基于Hadamard的PCP。但是，也许最简单的自包含变量是练习22.5中得出的构造。在22.2.1节中，我们还有一张表格，该表格准确显示了证明步骤对字母大小（以及其他参数，如健全性错误，大小和查询数量）的影响，并可以减轻您的担忧。