用公理扩展CIC有什么负面影响？

将公理添加到CIC确实会对定义和定理的计算内容产生负面影响吗？我的理解是，在该理论的正常行为，任何封闭来看会减少它的规范形式，例如，如果是真实的，那么ñ必须降低到窗体的一个术语（S ^ ü Ç Ç 。。。（小号ü c c （0 ）））。但是，当假设一个公理时（例如函数扩展性公理），我们只是向系统添加一个新常数。$n : \mathbb{N}$$n$$(succ ... (succ (0)))$funext

这将只是“神奇”产生的一个证明从任何证明Π X ：一个 ˚F （X ）= g ^ （X ），没有在所有任何计算的意义（在这个意义上，我们不能提取他们的任何代码？）$f = g$$\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

但是为什么这个“坏”呢？

对于funext，我读了这个coq条目和这个mathoverflow问题，它将导致系统失去规范性或可判定的检查。coq条目似乎是一个很好的例子，但我仍然希望对此有更多参考-某种程度上我找不到。

如何添加额外的公理会导致CIC表现更糟？任何实际的例子都很好。（例如，Univalence公理？）我担心这个问题太过温和了，但是如果有人可以阐明这些问题或给我一些参考，那就太好了！

PS：常见问题解答条目提到“ Thierry Coquand已经观察到在90年代中期，内涵家庭的模式匹配与扩张性不一致。” 有人知道用哪种纸或什么东西？

拒绝公理的第一个原因是，它们可能不一致。即使对于被证明是一致的公理，也有一些具有计算解释（我们知道如何用归约原理来扩展定义等式），而另一些则没有-打破规范。由于不同的原因，这是“不好的”：

• 从理论上讲，经典可以让您证明语言价值的事情，而不必使用特定的模型。考虑您的系统是一个非常令人满意的属性；特别是，它支持有关现实世界的主张-我们可以nat将系统中形式化的类型视为真正的“自然数”，因为我们可以证明其封闭的正常居民确实是自然数。否则，很容易认为您已在系统中正确建模了某些东西，但实际上是在使用不同的对象。

• 实际上，归约是依赖类型理论的主要资产，因为它使证明变得容易。证明命题相等性可能是任意困难的，而证明定义相等性是（较少可能）但要容易得多，因为证明项是微不足道的。更一般而言，计算是证明助手用户体验的核心方面，通常定义事物只是为了使它们按照您的期望正确地减少。（您不需要公理就可以使计算变得困难；例如，对命题相等性使用转换原理已经可以阻止归约）。反思证明的整个过程是基于使用计算来帮助证明的。与其他基于逻辑的证明助手（例如，仅支持等式推理的HOL-light；或使用Zombie寻求其他方法）以及使用未经检查的公理或其他编程样式相比，这是功能和便利性方面的主要区别。可以让您脱离这个舒适区。

要理解为什么用某些公理扩展定理证明者会导致问题，看看何时这样做是有益的也很有趣。我想到了两种情况，它们都与我们不在乎假设的计算行为这一事实有关。

• 在观察类型理论中，可以假设任何一致性的证明Prop而不会失去正典性。确实，所有证明都被认为是平等的，系统通过完全拒绝查看条款来强制执行。因此，证明是手工制作的或仅作假设的事实不承担任何后果。一个典型的例子是“凝聚力”的证明：如果我们有一个证明eq是A = B : Type那么对于任何t类型的A，t == coerce A B eq t这里coerce简单地沿着输送相等证明的术语。

• 在MLTT中，可以假定任何负的一致公理而不会丧失正典性。这背后的直觉是，负公理（形式的公理A -> False）仅用于消除不相关的分支。如果公理是一致的，则只能在确实不相关的分支中使用，因此在评估术语时将永远不会使用它。

一个非常糟糕的公理的实际例子，你问什么？

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所提到的Coquand论文可能是[1]，他在该论文中指出，依赖的ITT（马丁-洛夫的直觉类型理论）扩展了模式匹配，可以让您证明UIP（身份证明唯一性公理）。后来，Streicher和Hoffmann [2]提出了在ITT中伪造UIP的模型。因此，模式匹配不是ITT的保守扩展。

1. T. Coquand，与依存类型进行模式匹配。

2. M. Hofmann，T。Streicher，类型理论的群似的解释。