计算对称多项式

令是一个对称多项式，即对于所有的多项式和所有置换。为了方便起见，我们可以假设是一个有限域，以避免解决计算模型中的问题。 $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$ $f(x)=f(\sigma(x))$ $x \in \mathbb{K}^n$ $\sigma \in S_n$ $\mathbb{K}$

令表示计算的复杂度，即给定返回的算法的复杂度。我们可以基于的性质以某种方式表征吗？例如，对于所有对称多项式，我们是否保证是多项式（在）？ $C(f)$ $f$ $x$ $f(x)$ $C(f)$ $f$ $C(f)$ $n$ $f$

作为特殊情况，看起来（a）我们可以在时间计算幂和多项式，并且（b）我们可以在时间计算基本对称多项式，使用牛顿的身份。结果，如果是单项式的加权和，其中没有任何变量被提高到大于1的幂（即，如果是多线性的），则可以用多项式时间来计算（因为它可以表示为加权和基本对称多项式的集合。例如，当 $\text{poly}(n)$ $\text{poly}(n)$ $f$ $f$ $f$ $\mathbb{K}=GF(2)$ ，则可以在多项式时间内计算每个对称多项式。谁能说的比这更多？

cc.complexity-theory permutations polynomials

— DW
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如果您对计算感兴趣，则可能需要澄清计算模型。

R

$\mathbb{R}$

— 卡夫

@Kaveh，嗯，很好。我想我不是很专注于任何一个领域，所以我想我会问有限领域以使这个问题消失。我对是否有确定对称多项式评估复杂性的结果或系统技术感兴趣。

f

$f$

— DW

f如何指定？这对于评估的复杂性至关重要。

— 托马斯

@Thomas，没关系。对于任何单个固定，是定义明确的（这是计算的最佳算法的复杂性）。这是定义明确的，并不取决于如何“指定”。（请注意，不是算法的输入，因此不需要定义它的表示。）或者，换一种说法：如果我要计算对称函数，是否有任何技术或结果？帮助我找到一种有效的算法来计算或确定计算效率？

f

$f$

C (f)

$C(f)$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

— DW

@Thomas，是的：如果在度数不太大时有适用的结果或技术，听起来很有用。（例如，如果每个变量的度wrt最多为一个小常数，我们可以说些什么吗？我问题的最后一段处理的情况；我们可以说更多吗？或者，如果的总度不是太大，我们能说点什么吗？）

c

$c$

c = 1

$c=1$

f

$f$

— DW

这个问题似乎已经结束了。还是您希望对有限域上任何可能的对称多项式的时间复杂度进行精确表征？

无论如何，至少就我所知，关于对称多项式的时间复杂性，有几个众所周知的结果：

如果是有限域上的基本对称多项式，则可以通过多项式大小统一的电路进行计算。 $f$ $TC^0$
如果是特征场上的基本对称多项式，则可以通过多项式大小深度的三个均匀代数电路（如您已经提到的牛顿多项式；或拉格朗日插值公式）来计算f；因此，我相信这会转化为多项式大小的统一布尔电路（尽管深度可能不是恒定的）（但这可能取决于您正在处理的特定字段；为简单起见，您可能会考虑整数环；尽管对于我认为整数足以计算对称多项式。） $f$ $0$ $TC^0$
如果是有限域上的对称多项式，则在深度三个代数电路上有一个指数下界（Grigoriev和Razborov（2000年）[Grigoriev和Karpinsky 1998年之后]）。但是，如上面的第1条所述，这仅对应于恒定深度布尔电路下限（而有小的统一布尔电路；这也意味着多项式可以在多项式时间内计算）。 $f$ $f$ $TC^0$

关于对称多项式的时间复杂性，可能有更多已知的结果。

— Iddo Tzameret
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