哥德尔第二不完全性定理与CIC的Church-Rosser属性之间存在矛盾？

一方面，哥德尔的第二不完全性定理指出，任何足以表达任何基本算术表达式的一致形式理论都不能证明其自身的一致性。另一方面，形式（重写）系统的Church-Rosser属性告诉我们它是一致的，因为并不是所有方程都是可导数，例如K $\neq$ I，因为它们没有相同的范式。

然后，归纳构造演算（CIC）明确规定了这两个条件。它足以表示算术命题（实际上， $\lambda\beta\eta$ -微积分本身已经能够编码教堂数字并代表所有原始递归函数）。而且，CIC还具有汇合或Church-Rosser属性。但：

CIC不能不能通过第二不完全性定理证明自己的一致性吗？

还是只是说CIC无法证明其在系统内部的一致性，并且融合特性是一个元定理？还是CIC的融合特性不能保证其一致性？

如果有人可以阐明这些问题，我将不胜感激！

谢谢！

lo.logic type-theory lambda-calculus

— 学生类型
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CR在什么意义上表示一致性？考虑关系

x \to y

$x \rightarrow y$ 每当

x, y \in X

$x, y \in X$ 。

— 马丁·伯杰

@MartinBerger那么，您是说CR并不意味着CIC保持一致吗？因为它确实在

λ

$\lambda$ -微积分，例如K

\neq

$\neq$ 我。很抱歉，我不理解您在考虑上述关系时的意思。

— StudentType

我对CIC一无所知，但明显的可能性是它不会证明自己拥有Church-Rosser财产。

— EmilJeřábek'15

对于类型理论，强规范化将更接近一致性。CR暗示有不平等的用语，但不排除虚无的居民。ic无法在内部证明强规范化，因此Godels定理仍然成立

— Daniel Gratzer

直觉是，通常很容易表明系统内部没有不良的正常对象。现在，如果我们可以证明所有术语都具有正常形式，那么我们就完成了。标准化算法易于形式化。困难的部分是证明它终止。如果我们具有在系统内部足够快地增长的功能，那么我们可以使用它们来证明规范化算法终止的上限。我认为吉拉德的旧书应该有这些。证明和类型也可以。（任何讨论一个理论可能具有的全部功能的好的证明理论书都应该有它。）

— Kaveh，2016年

首先，您将CIC 作为方程式理论的一致性与CIC 作为逻辑理论的一致性相混淆。第一种意味着并非CIC的所有术语（相同类型）都是 $\beta\eta$ -当量。第二种表示类型 $\bot$ 没有人居住。CR表示第一种一致性，而不是第二种。正如评论中指出的那样，这是（弱）规范化所隐含的。这种情况的典型例子是纯粹的 $\lambda$ -演算：它在方程上是一致的（CR成立），但是，如果您将其视为逻辑系统（如Alonzo Church最初打算的那样），则它是不一致的（实际上，它不会规范化）。

其次，正如Emil指出的那样，即使CIC具有给定的属性（CR或规范化），CIC本身也无法证明该属性的可能性很大。在这种情况下，我没有看到CIC能够证明其自己的CR属性这一事实的任何矛盾之处，而且我想确实是这种情况（基本的组合参数通常足以满足CR要求，而这些参数肯定属于庞大的CIC的逻辑权力）。但是，恰恰由于第二个不完全性定理，CIC当然不会证明其自身的归一化性质。

— 达米亚诺·马扎（Damiano Mazza）
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+1谢谢！您能否详细说明一下（弱）规范化属性暗含（逻辑理论的）一致性？也就是说，每个术语都具有范式的事实意味着

⊥

$\bot$ 有人居住吗？

— StudentType

当然！从根本上说，削减消除意味着一致性。更详细：由于规范化保留类型，弱规范化意味着如果

⊥

$\bot$ 被居住，然后被一个正常术语居住。但这（通常）是逻辑系统（例如CIC或

λ

$\lambda$ -cube）没有正常居民

⊥

$\bot$ 。

— Damiano Mazza

@StudentType：这是一个相对简单的引理（通过对派生进行归纳），在空上下文中以正常形式归纳类型的术语必须是应用于参数的构造函数。

⊥

$\bot$ 是没有构造函数的归纳类型。类似的证明适用于以下定义

⊥

$\bot$ 。

— 科迪

是的，你说得对@cody！我应该说（在传统系统中）没有封闭的普通居民

⊥

$\bot$ （有很多普通居民

⊥

$\bot$ 尚未关闭！）。

— Damiano Mazza