随机布尔函数预期最小影响

对于布尔函数，第个变量的影响定义为其中是通过翻转第位获得的字符串。的影响最小然后 $f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

给定的参数 $p\in[0,1]$ ，我们选择一个 $p$ -random函数 $f$ 通过对每个的选择其值 $2^n$ 输入端独立地随意为 $1$ 的概率为 $p$ ，和 $-1$ 的概率 $1-p$ 。然后，很容易看到，对于每个 $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$ 和一个fortiori

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

我的问题是：

是否有渐近（关于 $n$ ）紧表达式？即使对于，我们也可以得到这样的表达式吗？ $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

具体来说，我确实关心低阶项，即，我对数量的渐近等效项感兴趣 $2p(1-p)-I_n(p)$ 。

（下一个问题，但从属于第一个问题，是一个人是否也可以围绕这一期望获得良好的专注范围。）

通过切尔诺夫边界，您还可以证明每个 $\operatorname{Inf}_i[f]$ 都具有很好的专注力，因此通过联合约束，我们可以得到（如果我没有做得太糟的话）

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$ 但这是最有可能在下限（由于联合约束）上松散，并且肯定在上限上。（我特别希望的是严格小于琐碎的

的上限

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ）。

请注意，这样做的问题之一是，除了采用分布均匀的随机变量（影响）中的最小值外，这些随机变量也不是独立的……尽管我确实希望它们的相关性随着衰减“相当快”。。 $n$ $n$

（对于它的价值，我已经明确计算出前几个，直到，并且进行了仿真以估计接下来的几个，直到左右。可以，但是一旦我回到办公室，就可以包括在内。） $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— 克莱门特C.
source

以下是前几个（只有前四个是精确的，其他是来自随机采样（以估计影响）的平均值，该随机采样是对10 ^ 5个随机生成的函数求平均）：（注意：对于模拟，不确定第四位是否真的重要）

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— Clement C.

这是朝正确方向迈出的一步...

我会争辩说，对于，您有。 $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

（这不如应有的强大。也许有人可以加强论证以显示。）这是一个证明草图。 $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

只需显示。我们做到了。 $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

请注意，如果和是完全独立的，则可以这样做，因为两个独立和的最小值的期望值为。首先，我们将仔细地论证这两个和几乎是独立的。 $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

考虑点的宇宙。呼叫和的 -neighbors如果他们只是不同个坐标。假设如果则两个邻居做出贡献（对。（所以是邻居的数量除以。）请注意，如果和是邻居，则和是邻居，然后 $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ 或。因此，贡献邻居的数量是独立随机变量的总和，每个变量的期望值为。 $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

分区宇宙为组大小的4的，其中和是相同的基团当且仅当和上的所有但它们的第一两个坐标一致。然后，对于每对 1个邻居和每对 2个邻居，和在同一组中。对于给定的组和，令rv为中有贡献的邻居的数量。那么，例如，总共有1个邻居参与的数量为 $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ ，是独立随机变量的总和，每个变量都位于。 $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

注意，如果，和是独立。通过案例分析，如果，则和的联合分布为 $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

令rv表示中性基团的集合。（他们对1影响和2影响精确地贡献了它们的预期量。）然后，与1影响相邻的数量为 $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

以为条件，对于每个 rv的和是独立的（通过检查上面的联合分布），因此（以条件）所有rv的在均匀分布，因此， $N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

最后，请注意，每个组都是中性的，概率为1/2，因此非常小，例如（即使在这种情况下，上面的左侧至少是）。由此得出要求的下限如下... $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— 尼尔·杨（Neal Young）
source

谢谢！我将尝试看看是否有一种方法可以适应您的方法，从而在根源下获得额外的 ...

n

$n$

— Clement C.