为什么我们将对数空间视为有效计算的模型（而不是多对数空间）？

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无论如何，这可能是一个主观的问题，而不是一个具体的答案。

在复杂性理论中，我们研究有效计算的概念。像代表多项式时间，而代表对数空间。他们都被认为是一种“效率”，并且很好地抓住了一些问题的困难。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$

但是和之间是有区别的：多项式时间被定义为问题的并集，对于任何常数，问题的时间为。，那是， $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $O(n^k)$ $k$

$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$ ，

日志空间定义为。如果我们模仿的定义，它将变成 $\mathsf{L}$ $\mathsf{SPACE[\log n]}$ $\mathsf{P}$

$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$ ，

其中称为polylog space的类。我的问题是： $\mathsf{PolyL}$

为什么我们使用对数空间作为有效计算的概念，而不是多对数空间？

一个主要问题可能是关于完整的问题集。在对数空间下，多对一的归约和都有完整的问题。相反，如果在这样的约简下有完全问题，那么我们将与空间层次定理矛盾。但是，如果我们转向减少polylog呢？我们可以避免这种问题吗？通常，如果我们尽最大努力使适应效率的概念，并且（如果需要）修改一些定义以使“ nice”类应具有的每个良好特性，我们能走多远？ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{PolyL}$ $\mathsf{PolyL}$

使用日志空间代替多日志空间有任何理论和/或实践原因吗？

cc.complexity-theory space-bounded big-picture

— 张显之张显之
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贤智，很好的问题。

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

9

据了解，。据我个人所知，和之间的确切关系尚不清楚。与之，某些问题在中可以解决，而在中不能解决，反之亦然。（其实，这部分讲的关于为什么的问题是高效计算的概念，一个奇怪的候选人。）对于一些更多的，你可以检查出PAPADIMITRIOU的复杂性教材在第16章的结束，特别是练习和讨论

p o l y L \neq P

$polyL \ne P$

P

$P$

p o l y L

$polyL$

p o l y L

$polyL$

P

$P$

p o l y L

$polyL$

p o l y L

$polyL$

— 丹尼尔阿蓬

实际上，另一个关于您总体问题中一个小问题的快速评论是：Polylog空间缩减不会告诉您关于太多信息，出于同样的原因，多项式时间缩减也不会告诉您关于太多信息。

p o l y L

$polyL$

P

$P$

— Daniel Apon 2010年

@Daniel Apon：谢谢您提到这本书，这很不错：）对于第二条评论，通过相同的论点，我们可以使用线性归约而不是多项式来获得有关更多信息，对吗？

P

$\mathsf{P}$

— 张显之张张之之

芷畅：嗯，我不知道说每线性时间的减少，但也有是其他，减少有趣的概念，以获得有关内部复杂的信息。

P

$P$

— Daniel Apon

51

包含线性时间并在子例程下关闭的最小类为P。包含日志空间且在子例程下关闭的最小类仍为日志空间。因此，P和L分别是时间和空间的最小鲁棒类，这就是为什么它们适合建模高效计算的原因。

— 兰斯·福特诺
source

4

这似乎是对所提出的实际问题的最佳答案。

— Derrick Stolee

1

在所有这些好的答案中，我确实认为Lance的答案是最精确的答案，我会接受的。但是，仍然要感谢每一个深思熟虑的答案！

— 张显之张张之之

1

另外，P ＝ L是否是开放的问题。

— 迭戈·德埃斯特拉达

25

一个问题是，它是未知是否。这几乎扼杀了效率的概念。在另一方面，确定是否通过所识别的语言的交点自动机是非空的是下LOGSPACE减量[兰格-Rossmanith] 。确定性多对数空间可能存在一些类似的问题。 $\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$ $\log^{k-1}(n)$ $\text{NSPACE}$ $[\log^k n]$ $\text{-complete}$

类过去已经研究过。[库克]证明。正如Derrick Stolee所指出的那样，该类现在称为，并且已经推广到。更多信息在这里。 $\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$ $\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$ $\text{SC}^2$ $\text{SC}^k$

— 迈克尔·布朗丁
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2

我们可以使用

代替

？

Q u a s i P = ⋃_{k \geq 0} T I M E [2^{\log^{k} n}]

$\mathsf{QuasiP} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME}[2^{\log^k n}]$

P

$\mathsf{P}$

— 张显之张显之

这是一个已知的开放问题吗？您能提供参考吗？

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

现代意义上，您的PLOSS类别与

相同。SC代表“史蒂夫课程”，可能是您引用的库克的结果。

{SC}^{2}

$\text{SC}^2$

— Derrick Stolee

5

请注意，SC是由尼克·皮蓬格（Nick Pippenger）命名的，据称与史蒂夫·库克（Steve Cook）互惠互利，以他的名字命名NC :)

— Suresh Venkat 2010年

所以这是正确的：因为

是代表效率的许多重要类，所以不是从改变

到

，以适应

，我们用

适合

？然后，如果在一定的时间关系

证明对于某些

，将类

变得更重要吗？

P

$\mathsf{P}$

P

$\mathsf{P}$

Q u a s i P

$\mathsf{QuasiP}$

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

L

$\mathsf{L}$

P

$\mathsf{P}$

S P A C E [\log^{k} n] \subseteq P

$\mathsf{SPACE}[\log^k n] \subseteq \mathsf{P}$

k

$k$

L^{k}

$\mathsf{L^k}$

— 张显治张显之

20

对数空间保证多项式时间，因为给定对数空间图灵机最多有配置。要想完全解决“无向到达”和“有向到达”的问题（分别针对L和NL）。 $2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

请注意，您的聚L-的定义也给出了聚L- = NPolyL，由萨维奇定理，因为。 $\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

考虑到多对数空间时，已经进行了考虑同时多项式时间的多对数空间的工作，给出了SC层次：。 $\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

— 德里克·斯托利
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如果我们使用polylog减少相反，将可达性成为一个完整的问题

？（我确实是这样认为的，通过相同的可达性方法证明可达性是一个

问题）。如果是这样，则

在某种意义上还是“不错的”。

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

N L

$\mathsf{NL}$

p o l y L

$\mathsf{polyL}$

— 张显之张张之之2010年

如果对PolyL问题使用polylog约简，则语言

是PolyL完整的。

{1}

$\{1\}$

— 德里克·斯托利

您是对的，对不起这个愚蠢的问题：(

— 张显之张张之之2010年

13

我认为所有其他答案都很好。对于这个问题，我将尝试给出不同的观点。

我不知道P在现实世界中对“有效”计算的建模有多好，但是由于其良好的闭包特性和其他数学原因，我们喜欢该类。类似地，由于某些上述原因，L也是一个很好的类。

但是，正如您所评论的，如果我们将“有效”的定义放宽到准多项式时间，那么PolyL也是有效的。我们可以讨论复杂性理论，在该理论中，我们允许在某些资源上用对数定义的类改为使用多对数资源。相应地，我们还将放宽对NC，NL等的定义，取而代之的是准多项式大小的电路。如果执行此操作，则NC ₁，L，NL和NC都与PolyL类重合。从这个意义上说，PolyL是一个健壮的类，因为许多自然类与之吻合。有关使用log-> polylog和polynomial->拟多项式的复杂性理论的更多信息，请参阅 Barrington的Quasipolynomial尺寸电路类。

研究polyL或类似类（如准AC ₀）的另一个原因是，尽管（说）ParityP和PH之间的预言分隔表明AC _0中不包含PARITY ，但反向含义未知。另一方面，当且仅当在ParityP和PH之间存在Oracle分隔时，准AC _0中不包含PARITY 。类似地，当且仅当CH和PH之间存在oracle分隔时，准TC ₀和准AC _0类是不同的。因此，通常的复杂度类（例如PH，ModPH，CH等）在通过指数缩减以证明预言结果时变成了常规类AC ₀，ACC ₀和TC的准多项式版本分别为₀。类似地，在Toda定理中使用的自变量（PH包含在P ^PP中）可以用来表明准AC ₀包含在深度3准TC _0中。（我不知道这些类的普通版本是否也得出相同的结论。在某些论文中，我认为这是一个未解决的问题。）

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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1

您的回答确实有帮助，谢谢您的分享意见。我很惊讶准东西已经被研究了很多！

— 张显之张张之之