是否存在量子复杂度类别的描述性复杂度表示形式？

标题或多或少说明了一切，但我想我可以添加一些背景知识和一些我感兴趣的特定示例。

描述性复杂性理论家，例如Immerman和Fagin，已经使用逻辑对许多最著名的复杂性类进行了表征。例如，NP可以通过二阶存在性查询来表征。P可以通过添加最小固定点运算符的一阶查询来表征。

我的问题是：是否有过尝试，尤其是成功的尝试，提出了诸如BQP或NQP等量子复杂性类的表示形式？如果没有，为什么不呢？

谢谢。

Update（主持人）：此问题已由mathoverflow上的这篇帖子完全回答。

我认为Robins对我在MO上的问题的回答也回答了这一问题。

一个描述性的复杂性复杂性类的表征给人是完全功能可计算的语言，它的查询（即公式）Ç。该语言的语法通常非常简单，即给定字符串q，很容易检查q是否为该语言的格式正确的查询，至少可以预期它是可确定的（但通常语法检查是在语言环境中小复杂度类）。这将需要有效地枚举C类中的问题，并为C提供语法上的表征。（如果语法检查的复杂度较低，则可能还意味着该类存在一个完整的问题。）$C$$C$$q$$q$$C$$C$

在上面的评论中，Robin链接了Kord Eickmeyer和Martin Grohe的论文“ 描述性复杂性理论中的随机化和非随机化 ”，从而给出了B P的“描述性复杂性”特征。作者自己在引言中指出，这与描述性复杂度表征通常所指的含义不同：$BPP$

我们证明是具有计数功能的定点逻辑的概率版本，即使在无序结构上也可以捕获复杂度B B P P。对于有序结构，该结果是Immerman-Vardi定理[7，8]的直接结果，对于任意结构，它的观察结果是，我们可以在BPIFP + C中以高概率定义随机顺序。但是，由于它与是否存在捕获P的逻辑这一开放性问题相似，并且由于认为P = B P P，因此该结果乍看之下还是令人惊讶的。$BPIFP+C$$BPP$$P$$P = BPP$ 的是，逻辑没有有效的语法，因此根据Gurevich [9]的定义，它不是捕获 P的逻辑问题的“逻辑”。$BPIFP+C$$P$不过，我们认为可以完全复杂地描述 B P P类，因为 B P P的定义本质上也是无效的（与 B P P的定义相反）。$BPIFP+C$$BPP$$BPP$在可判定的条件套以多项式计时的图灵机）。$P$

我不是有限模型理论/描述性复杂性方面的专家（并且我个人想听听专家的更多信息），但是我的感觉是，这里有些欺骗性的说法是这是描述性复杂性的表征。我感觉到的原因是，如果允许使用无效的语法，则可以使用任意语义限制来限制格式正确的查询的类别，并可以为任何复杂度类别提供“描述性复杂度”表征。例如，考虑（它捕获P S p a c e），然后精确地采用可在$SO(TC)$$PSpace$$BQP$; 或者考虑每台机器具有一个功能符号的语言。这两个都捕获B Q P，但是没有有效的语法。$BQP$$BQP$

古列维奇（Gurevich）在关于可以捕获的逻辑的猜想中提出要求该逻辑以两种方式可计算：（1）在给定σ的情况下，可从词汇表σ合法获得的句子集必须是可计算的；（2）可满足性关系需要根据σ来计算，即由有限结构M和句子φ组成的有序对，使得与M同构的所有模型都满足φ。另外，与该随机逻辑结果比较，词汇$\mathsf{P}$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$M$$\varphi$$M$$\varphi$$\sigma$必须是有限的。（词汇​​是一组常量符号和关系符号，例如，等号，小于号，）。这是Gurevich定义的本文 1.14的表述，它是参考文献[9 ”中Kaveh给出的报价。$R_1,R_2,\ldots$

关于BPP和随机逻辑的论文提出了一个截然不同的框架。它以有限词汇开头，然后考虑所有扩展了σ且具有不相交词汇ρ的词汇的概率空间。因此，如果在基于σ的不同扩展的“足够”的逻辑中可以满足公式，则在新的随机逻辑中可以满足该公式$\sigma$$\sigma$$\rho$$\sigma$$\rho$。这是我在罗宾·科塔里（Robin Kothari）所链接的Eickmeyer-Grohe论文中对定义1的挑剔。特别是，词汇量不是有限的（嗯，每个词汇量都是，但是我们必须无限地考虑许多不同的词汇量），这种逻辑的句子集是不确定的，可满足性的概念不同于古列维奇（Gurevich）提出的概念。 。