寻找最大的有限直径的点集

鉴于点在和距离找到这些点，使得没有两个人的欧几里得距离超过最大子。 $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

这个问题的复杂性是什么？

在两点之间的距离最大为的点上具有边的点的图形中，问题等同于找到最大团。反过来可能不成立，因为不是每个图形可以得到这种方式（一个实例是星为）。因此，一个相关的问题是：有关此类图的知识是什么？ $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

请注意，如果是固定的，则有一个“平凡的” P时间算法：由于这样的集合被封装在半径为的球中，并且在不失一般性的情况下，该球最小（即触摸点），只是列举所有子集。您可以做得更好，但是从复杂性的角度来看，问题是“容易的”。

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Suresh Venkat 2010年

我认为最佳组合不一定包含在半径为l / 2的球中是不正确的。例如，在平面中，边长为l的等边三角形的三个顶点不是这样封闭的。

— David Eppstein 2010年

是啊。但枚举无论如何应该起作用。

— Suresh Venkat 2010年

您可以枚举球内的子集，但是如果将半径设为l / 2，则不会找到一些小直径子集；如果使半径大于该半径，则如何缩小子集以使它们变小并不明显。直径小。

— David Eppstein 2010年

为什么我不能枚举子集，找到一个最小的封闭球，然后计算每个子集的基数？

— Suresh Venkat 2010年

Answers:

这里有一个这个问题在我与杰夫·埃里克森纸二维版本时间算法，“ 迭代最近的邻居，寻找最小的多面体 ”，光盘。比较几何 11：321-350，1994。实际上，本文主要关注双重问题：给定子集中的点数，找到最小的可能直径；但它使用您描述为子例程的问题。至少在我们写这篇文章的时候，我们不知道任何关于高维的次指数的东西（尽管如果子集中只有个点，则指数部分可以依赖于而不是 $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ 使用同一篇论文中的技术）。

— 大卫·埃普斯坦
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逼近是很容易的，如果你是在最感兴趣的是最小的子集直径。现在，使用网格的线性时间算法是“标准”。常数可能会是这样的。 $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

寻找包含k个点的最小球有一些工作，但是直径问题从本质上讲更加困难。要知道为什么，克拉克森-舒尔（Clarkson-Shor）纸是计算3d直径的一个很好的起点。

顺便说一句，对于高尺寸，通过使用磁芯集（但不在尺寸上！），球问题的时间指数近似为（或一些类似的噪声）。我有点怀疑这种方法可以扩展到这个问题，但是我可能是错的。 $O(1/\epsilon^2)$

— 萨里尔·哈皮尔
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