关于图为平面时的邻接矩阵的性质

1-当图是平面时，邻接矩阵是否有任何特定属性？
2-当图是平面时，计算邻接矩阵的永久性是否有什么特别的事情？

计算平面图的行列式和永久性与在一般图形中计算它们一样困难。它们分别适用于GapL和#P。有关更多详细信息，请参阅Datta，Kulkarni，Limaye和Mahajan撰写的这篇论文。

与邻接矩阵相比，它更是入射矩阵的一个属性，但是平面图的一个重要属性是它们恰好是其图形拟阵是另一个图形拟阵的对偶的图。与入射矩阵的关系是图形拟阵描述了矩阵中独立列的集合。

限制平面图的距离矩阵（而不是邻接矩阵）的一个属性可能是您感兴趣的Monge属性。平面图的Monge属性（归因于Gaspard Monge）实质上意味着某些最短路径无法交叉。有关Monge属性的正式说明，请参见Wikipedia：Monge Array。Djidjev（WG 1996）（Djidjev网站上的论文）以及Fakcharoenphol和Rao（FOCS 2001）（视频）展示了如何在最短路径算法中利用非交叉属性。

我不确定您要寻找哪种属性，但是平面图的光谱半径就是这样一个数量（邻接矩阵特征值的最大绝对值）。例如参见本文。

虽然与您的问题没有直接关系，但您可能希望研究平面图的度数序列。关于度数序列何时是平面图的度数序列，尚无已知的特征。但是，关于此类问题有很多有趣的论文，包括：

http://www.jstor.org/pss/2100346