P / Poly与均匀复杂度等级

不知道NEXP是否包含在P / poly中。确实证明NEXP不在P / poly中将在去随机化方面有一些应用。

1. 可以证明P / poly中不包含C的最小统一类C是什么？

2. 像在NEXP vs P / poly的情况下那样，证明联合NEXP不包含在P / poly中会带来其他复杂性理论后果吗？

注意：我知道 $SP_2$ 已知不包含在 $Size[n^k]$ 对于每个固定常数 $k$（对于MA来说，也显示了一点点建议）。但是在这个问题上，我对固定结果不感兴趣。我对与P / Poly不同的类非常感兴趣，即使这些类非常大。$k$

$\let\mr\mathrm$文献中有一些结果表明某个类别 $C$ 满足 $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ 对于任何 $k$，通常可以很容易地填充它们，以显示任何几乎没有超多项式扩展的 $C$ 不在 $\mr{P/poly}$。

我说 $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$如果是时间可构造的，则为超多项式界，并且$f(n)=n^{\omega(1)}$。例如，$n^{\log\log\log\log n}$是一个超多项式界。实际上，一项指导性练习表明，如果$g(n)$ 是任何无界单调可计算函数，有一个超多项式界 $f$ 这样 $f(n)\le n^{g(n)}$。

首先，直接对角线化显示 $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ 对于任何 $k$。相同的参数给出：

• 如果 $f$ 是任何超多项式的界，那么 $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$。

  证明草图：适用于 $n$，让 $C_n$ 在大小上按字典顺序是第一个 $2f(n)$ 在中计算布尔函数 $n$ 不可通过大小电路计算的变量 $<f(n)$。然后，语言$L$ 被定义为 $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$ 作品。

一项著名的改进指出 $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ 对于任何 $k$。同样

• 如果 $f$ 是任何超多项式的界，那么 $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$。

  证明草图：如果没有，则特别是 $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$，因此 $\mr{PH}=S_2\mr P$。通过填充参数，$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$，非。

遗忘的类甚至更好。考虑到Apoorva Bhagwat提出的反对意见，$\mr{NLin=NTIME}(n)$。然后$\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ 对于任何 $k$，并且相同的参数产生：

• 如果 $f$ 是任何超多项式的界，那么 $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$。

  证明草图：如果 $\mr{NLin\subseteq P/poly}$，然后通过填充， $\mr{NP\subseteq P/poly}$，这意味着 $\mr{PH}=O_2\mr P$。然后我们像以前一样进行。

也有涉及MA的结果。经常提到的结果是$\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$太过分了。Santhanam证明

$$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$$ 对于任何 $k$，类似的参数给出：

• 如果 $f$ 是任何超多项式的界，那么

  $$\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$$

  证明草图：由Santhanam的引理11（这是标准事实的清晰版本，即 $\mr{PSPACE=IP}$ 使用PSPACE证明程序），则存在PSPACE完整的语言 $L$ 和一个随机的多时间oracle TM $M$ 这样输入 $x$， $M$ 只问oracle查询的长度 $|x|$; 如果$x\in L$， 然后 $M^L(x)$ 接受的可能性 $1$; 而如果$x\notin L$，那么对于任何oracle $A$， $M^A(x)$ 接受的可能性 $\le1/2$。

  对于合适的单调多项式 $p$，让 $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$ 是由定义的承诺问题

  $$\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$$ 让 $h(x)$ 是的多项式约简 $L$ 补充，让 $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ 成为诺言问题 $$\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$$ 如果 $p(n)$ 选择适当的大 $$B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$$ 因此，让我们假设存在矛盾 $B$ 有多项式电路，例如 $B\in\mr{SIZE}(n^k)$. Let $s(n)$ denote the size of the smallest circuit computing $L$ on inputs of length $n$, and put $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$; more precisely, $$t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$$ Then $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ is a reduction of $L$ to $B$, thus $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$, which means $$s(n)\le t(n)^k.$$ But since $f$ is superpolynomial, we have $t(n)=s(n)^{o(1)}$. This gives a contradiction for $n$ sufficiently large.

If we prefer a result with a non-promise version of MA, Miltersen, Vinodchandran, and Watanabe proved

$$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$$ for a half-exponential function $f$. We can improve it in two ways: first, it holds for $\tfrac1k$-exponential bounds for any constant $k$, and second, it holds for oblivious classes. Here, a $\tfrac1k$-exponential function is, roughly speaking, a function $f$ such that $\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$. See the Miltersen–Vinodchandran–Watanabe paper and references therein for the precise definition; it involves a well-behaved family of well-behaved functions $e_\alpha(x)$, $\alpha\in\mathbb R_+$, such that $e_0(x)=x$, $e_1(x)=e^x-1$, and $e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$. Also, if $f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$ and $g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$, then $f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$. Then we have:

• $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ for any $\alpha>0$.

  Proof sketch: Assume otherwise. Fix an integer $k$ such that $1/k<\alpha$. Let me abbreviate

  $$\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$$ By padding, we have $$\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$$ for any $\beta\ge0$. Moreover, using e.g. Santhanam’s Lemma 11 above, we have the implication $$\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$$ Since trivially $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$, a repeated application of (1) and (2) shows $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$, $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$, and so on. After $k$ steps, we reach $$\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$$ Using padding once more, we get $$\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$$ which contradicts the results above, as $e_{1/k}$ is a superpolynomial bound.

Since nobody posted an answer, I will answer the question myself with the comments posted in the original question. Thanks to Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan and Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ seems to be the smallest uniform class with known superpolynomial lower bounds.

$O_2^P$ seems to be the smallest known class not having circuits of size $n^k$ for each fixed $k$.

By diagonalization, it follows that for any super-polynomial (and space-constructible) function $s$, $DSPACE[s(n)]$ doesn't have polynomial-size circuits. $PSPACE$ versus $P/poly$ is still open.

$P/poly$ is closed under complement, so it contains $NEXP$ if and only if it contains $coNEXP$.

Please correct me if I'm wrong, but as far as I can tell, we actually don't know a fixed-polynomial size lower bound for $O_2^P$. This is because the usual Karp-Lipton argument doesn't go through for $O_2^P$, since we don't know whether $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ (in fact, this is equivalent to asking whether $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$). However, we do know that $\textsf{NP}^{O_2^P}$ isn't contained in $\textsf{SIZE}(n^k)$ for any $k$, as shown by Chakaravarthy and Roy.