将真实的傅立叶光谱与假的光谱区分开来的复杂性是什么？

甲$PH$机给出预言访问随机布尔函数$f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$，以及两个傅立叶光谱$g$和$h$。

一个函数的傅立叶光谱$f$被定义为$F:\{0,1\}^n \to R$：

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

一个的或是真正傅立叶光谱和另一种是仅有一个假的傅立叶光谱属于一个未知的随机布尔函数。$g$$h$$f$

不难证明机甚至不能近似于任何。$PH$$F(s)$$s$

以高成功概率决定哪一个是真实的查询的查询复杂度是多少？

有趣的是我，因为如果这个问题是不是在，那么可以表明，一个Oracle相对于它存在在没有一个子集。$PH$$BQP$$PH$

抱歉，我迟到了-这是一个很棒的问题！正如其他人已经指出的那样，这就是为什么我在BQP与PH文件中提出问题的原因，以及为什么我花了4到5个月的时间来解决这个问题，而在2008年却没有成功。答案的一种方法是证明我称之为“广义Linial-Nisan猜想”的更笼统的说法，但不幸的是，至少对于深度3和更高的电路，该猜想是错误的。（我仍然认为深度2电路可能确实如此，这至少会在BQP和AM之间产生预兆分离。）对于最近的想法（据我所知，最新的说法）是关于BQP和PH之间的预兆分离，请参阅费弗曼，沙尔蒂尔，乌曼斯的精彩后续论文，

斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）可能是世界上回答这个问题的最佳人选，也许他在发布这个问题后会有更好的答案。他提出了最初的问题，该问题似乎与上面提到的问题略有不同，即所谓的傅立叶检查问题（有关注释的更多参考文献）。该问题与分离两个重要的复杂度类别PH和BQP密切相关/几乎等效，这是QM复杂度理论的一个关键开放问题，并且可能非常困难。到目前为止，除了亚伦森以外，甚至没有他（似乎只有2岁多一点）的人，似乎都没有对此问题进行过很多直接/进一步的研究。

但是，这里至少有Aaronson以外的其他人撰写的一篇论文，着重/建立在猜想/问题上，并获得了一些新的结果。

指数加速由Fernando GSLBrandão和MichałHorodecki通用

在我们的论文[4]中，我们推广了傅立叶检查问题[1]，并表明在问题的定义和解决该问题的量子算法中，傅立叶变换都可以被一大类量子电路所代替。这些既包括对任何（可能是非阿贝尔）有限群的傅立叶变换，也包括来自量子电路集合上自然分布的几乎任何足够长的量子电路。我们为所有此类电路获得了量子和后选经典查询复杂度的指数间隔。