在动态更新的输入上保持多项式的值

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令是固定有限域上的多项式。假设我们给定向量和向量的值。 $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

现在，我们要在向量计算的值，以使和恰好在一个位置不同（换句话说，我们在恰好翻转一位）。这个问题的空间和时间取舍是什么？ $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

例如，如果是中单项式的数目，我们可以将系数和所有单项式的值存储在。如果被翻转，我们使用存储的信息固定每个包含单项式的值，然后确定的值。总体而言，我们需要时间和空间。 $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

（关于目的如何识别包含的单项式没有说什么。您可以选择任何合理表示形式，在本示例中，我假设我们为每个存储一个包含的单项式的列表。） $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

有更好的吗？

polynomials dynamic-algorithms

— 塔蒂亚娜·斯塔里科夫斯卡娅（Tatiana Starikovskaya）
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您的想法概括如下：给定一个代数电路（在有限域上）或布尔电路（计算有限域元素的按位表示），计算，然后保持电路中每个门的值。当您更改第个位时，只需从输入开始沿电路的DAG传播该更改。如果电路的大小为，则需要时间和空间。这可能比单项式的数目小得多（后者对应于深度仅为2的代数回路的大小）。 $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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1

我不确定这是否是故意的，但问题并不在于我们得到，而是。

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— 安德鲁·摩根

1

@AndrewMorgan取决于您的应用程序，对于我来说，可以假定y是给定的。感谢您的评论！

— Tatiana Starikovskaya

2

@AndrewMorgan：确实，尽管在技术上是正确的，但OQ中的示例结构的措辞似乎暗含了假定被给出的方式。如果没有给出，我认为这个问题将变得更加困难。（塔蒂亚娜（Tatiana），可能需要添加它作为问题的澄清。）

y

$y$

y

$y$

— 约书亚·格罗肖

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修改单项式存储方法很容易，以便每次更新仅花费与更改后的单项式数量成正比的时间：只需为每个更改后的单项式添加新值并减去旧值，即可更新多项式总值。

如果您有一个的只读公式（即每个变量都出现在公式树的单个叶子上，并且每个内部节点都是两次输入的算术运算，如加号或乘积），则可以将的值保持对数在公式上使用rake-compress树进行每次更新的时间。将这种方法应用于任意公式，更新出现次的变量的时间将为，其中是公式大小。因此，除对数因子外，这会泛化更改后的单项式数目的界，并适用于将多项式扩展为公式的更一般类型。 $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— 大卫·埃普斯坦
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