如何将非终止

我一直在思考以下问题：

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

在无类型设置中已经存在一些难以回答的相关问题！更具体地说，我很想知道我们是否可以通过以下方式从非终止中恢复图灵完备性：

问题：给定一个（纯） $\lambda$ -term $t$ 与没有弱头正常形式，确实有总是存在一个定点组合子 $Y_t$ 使得
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

等式都取模 $\beta\eta$ 。

其实，我怀疑这个版本的问题是假的，那么一个可以放松的问题，以循环组合程序，其中一个循环组合子 $Y$ 被定义为一个任期，从而使每一 $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ ，其中

Y^{'}

$Y'$ 再次需要成为循环组合器。当然，这足以照常定义递归函数。

更一般而言，即使不满足上述公式，我也有兴趣寻找一种从非终止 $t$ 到循环组合器的“自然”方法。

我也有兴趣在较弱的版本上面的问题，例如 $t$ 可以被视为是一个应用程序 $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ 每个 $t_i$ 在正常的形式（虽然我不知道确实有帮助）。

到目前为止：自然的方法是在整个过程中采用 $t$ 和“ pepper”应用程序，例如 $f$

Ω := (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

变成平常

Y_{Ω} := λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

这个想法是减少头 $t$ 到的λ应用 $\lambda x. t'$ 并将其替换为 $\lambda x.f\ t'$ ，但下一步尚不清楚（我怀疑这会导致任何结果）。

我不知道我足够的了解伯姆树木，看他们是否有什么话要说，但我很怀疑，因为 $\Omega$ 的伯姆树简直是 $\bot$ ，看起来一点也不像一个 $Y_\Omega$ ：无限树抽象。

编辑：我的一个朋友说，这种幼稚的做法行不通与术语：

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$ 的幼稚的做法将使

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$ 但是，这是不是一个固定的点组合子！这可以通过替换所述第二应用被固定

f

$f$ 由

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$ ，但随后

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$ 不给原词。尚不清楚该术语是否是原始问题的反例（当然，它不是更一般的反例）。

lambda-calculus combinatory-logic

— 科迪
source

我认为应该加强对t没有头部正常形式的要求，以排除弱的头部正常形式。如果t能够产生lambda，则由于在头部位置始终有一个定点组合器（以f = id开头），因此应该由它生成lambda，这是不可能的。

— Andrea Asperti

@AndreaAsperti，你是正确的，当然。我会修正这个问题。

— 科迪

这个非常好的问题涉及多个方面，因此我将相应地构建此答案。 $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1.盒装问题的答案为否。术语通过你的朋友建议确实是一个反例。 $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

之前在评论中注意到，有人有反例，例如“食人魔” ，直到问题被限制条款不弱的头部正常形态。这样的项称为零项。这些术语在任何替换下都不会降低为lambda。 $K^\infty=Y K$

对于任何定点组合器（fpc）， $Y$ 都是所谓的静音（AKA“ root-active”）术语：每次减少都会进一步减少为redex。 $Y I$

是不是哑巴; 既不是为是明显的，通过检查它的集约简的，这是 $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

而不是给出一个准确的说法，为什么是忽略所有财务执行情况 $Y I$ $Y$ （事实上，对于任何循环组合子）这可能是费力又希望再清楚不过我将把你的问题有明显的推广，限制对静音方面也是如此。 $-$ $-$

静音项是零项的子类，而零项是不可解的项的子类。这些在一起可能是lambda演算中“无意义”或“未定义”概念的最受欢迎选择，分别对应于琐碎的Berarducci，Levy-Longo和B \“ ohm树。 Paula Severi和Fer-Jan de Vries已对其进行了详细分析[1]静默项构成了该晶格的底部元素，即“ undefined”的限制性最强的概念。

2.令为静音项，令为具有的属性的循环组合器。 $M$ $Y$ $YI = M$

首先我们争辩说，对于一个新鲜变量，实际上看起来很像您描述的，它是通过将散布在某些还原上而获得的。 $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$

通过Church-Rosser，和具有相同的归约。取标准一化。的每subterm 对应于一个独特的subterm 该还原下。对于任何subterm ，因素 $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ ，其中，所述中间腿是弱头减少（和最终腿是内部）。是“守卫”由当且仅当该第二腿收缩一些归约式，与的取代的后代 $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ 。 $[z:=I]$

显然，必须保护某些子项，否则它也将是静音的。另一方面，必须小心不要保护非终止所需的那些子项，否则它将无法形成循环组合器的无限B \“欧姆树。 $Y$ $M$

因此，找到一个静音项就足够了，在该静音项中，每个归约项中的每个子项都需要进行非归一化，这意味着将变量放在该子项的前面会产生一个归一化项。

考虑，其中。就像一样，但是在每次迭代中，我们通过向其提供标识来检查在参数位置的出现是否被head变量“阻止”。将置于任何子项前面将最终产生形状的正则形式，其中每个为，或其中的“ 散布”。所以 $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$ 是广义问题的反例。

定理。没有循环组合器使得。 $Y$ $YI = \Psi$

证明。该组的所有约简的是。为了敞篷，必须减少其中之一。在所有情况下该论点都是相同的；为了具体，假定。 $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

任何标准还原可以被分解为 $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

让我们参阅还原为，和从开始减少作为。 $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$

这些减少可以通过替代被提升，得到，使得是组合物 $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

Similarly, we can lift each $R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$ as

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

The second leg of this factorization of $R_i$ consists precisely of contracting those $I$ -redexes which are created by the substitution $N^z_i[z:=I]$ . (In particular, since $N$ is a normal form, so is $N^z_i$ .)

$N^z_i$ is what we called a " $z$ -sprinkling of $N$ ", obtained by placing any number of $z$ s around any number of subterms of $N$ . Since $N \in \setof{I,W}$ , the shape of $N^z_i$ will be one of

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

So $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ , with $N^z_i$ a $z$ -sprinkling of $I$ for $i =1,2$ and of $W$ for $i=3,4$ .

At the same time, the term $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ should yet reduce to yield the infinite fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$ . So there must exist a "sprinkle" $z^{k_j}$ in one of the $N^z_i$ which comes infinitely often to the head of the term, yet does not block further reductions of it.

And now we are done. By inspecting each $N^z_i$ , for $i \le 4$ , and each possible value of $k_j$ , for $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , we find that no such sprinkling exists.

For example, if we modify the last $W$ in $IIWW$ as $W^z = \lambda w. z(wIww)$ , then we get the normalizing reduction

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

(Notice that $\Omega$ admits such a sprinkling precisely because a certain subterm of it can be "guarded" without affecting non-normalization. The variable comes in head position, but enough redexes remain below.)

3. The "sprinkling transformation" has other uses. For example, by placing $z$ in front of every redex in $M$ , we obtain a term $N = \lambda z. M_z$ which is a normal form, yet satisfies the equation $N I = M$ . This was used by Statman in [2], for example.

4. Alternatively, if you relax the requirement that $Y I = M$ , you can find various (weak) fpcs $Y$ which simulate the reduction of $M$ , while outputting a chain of $z$ s along the way. I am not sure this would answer your general question, but there are certainly a number of (computable) transformations $M \mapsto Y_M$ which output looping combinators for every mute $M$ , in such a way that the reduction graph of $Y_M$ is structurally similar to that of $M$ . For example, one can write

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposing the Lattice of Meaningless Sets in the Infinitary Lambda Calculus. In: Beklemishev L.D., de Queiroz R. (eds) Logic, Language, Information and Computation. WoLLIC 2011. Lecture Notes in Computer Science, vol 6642.

[2] Richard Statman. There is no hyperrecurrent S,K combinator. Research Report 91–133, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
source

This answer is great, and I will likely accept it. However, I'm not sure what the actual theorems you are describing, other than "there is no looping combinator

Y

$Y$ such that

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$ ". I think stating the theorems separately will make the arguments much easier to follow.

— cody

好点子。我刚刚更新了答案。

— 安德鲁·波隆斯基