是否存在一致且图灵完成的类型化lambda演算？

是否存在类型化的Lambda演算，其中Curry-Howard对应关系下的相应逻辑是一致的，并且每个可计算函数都有可键入的Lambda表达式？

公认地，这是一个不精确的问题，缺少“类型化λ演算”的精确定义。我基本上想知道是否有（a）此方面的已知示例，或（b）该领域中某些事物的已知不可能证明。

编辑：@cody在下面的回答中给出了此问题的精确版本：是否存在一个逻辑上纯的类型系统（LPTS），该系统是一致的并且图灵完整的（在下面定义的意义上）？

— 摩根·托马斯
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没有递归可公理化的演算（lambda或其他），其可证明的总递归函数都是递归函数，因此您的演算必须包含非终止项。

— EmilJeřábek在2015年

这个答案有一个定理，说，你不能有任何类型的结石，既图灵完备和总。

— Andrej Bauer

一旦使其足够精确，它很可能会回答您的问题。我认为Andrej的证明不必要地复杂（但它显示了更多的意思）：重点仅仅是，如果有一个有效描述的系统，其中所有递归函数都可以表示，这样您就可以在语法上证明表达式是a的诚实表示。递归函数（例如，通过检查它是否在系统中正确键入），那么您将获得通用的总递归函数，这是不可能的。

— EmilJeřábek在2015年

当然，对此类问题的经典答案可能是：键入具有交集类型的

微积分，因为它会键入所有（且仅那些）强烈归一化的项。但是，问微积分是否接受“柯里-霍华德解释”更是一个哲学问题。

λ

$\lambda$

— cody 2015年

这里很难更精确，因为问题并不精确。

— 安德烈·鲍尔

Answers:

好吧，我会对此加以说明：通常对于给定的类型系统，以下内容是正确的： $T$

如果演算中的所有良好型项都已归一化，则在被视为逻辑时是一致的。 $T$ $T$

证明通常通过假设你有一个术语前进的类型，使用发明的还原，以获得正常的形式，然后在这样的术语的结构出发通过感应得到一个矛盾。 $\mathrm{absurd}$ $\mathrm{False}$

很自然地想知道相反是否成立，即

对于任何类型的系统，如果是逻辑一致，然后在每一个良好的长期输入是正火。 $T$ $T$ $T$

这样做的问题是，没有真正的最普遍的“类型系统”概念，甚至在此类系统的逻辑一致性意义上的共识也更少。但是，我们可以凭经验验证

对于大多数具有逻辑解释的类型系统，确实存在相反的情况。

这如何与图灵完整性相关联？好吧，对于一个，如果类型检查是可判定的，那么Andrej的参数表明以下条件之一必须成立：

该组中的所有良好类型的程序是不是图灵完备。
有一个不终止的类型良好的程序。

这倾向于表明：

具有逻辑解释且一致且可递归枚举的类型系统不是图灵完整的。

给出一个实际的定理而不是一个建议，需要使类型系统和逻辑解释的概念在数学上精确。

现在，我想到两点：

有一个不确定的类型系统，交叉类型系统具有逻辑解释并可以表示每个归一化的项。如您所言，这与图灵完成并不完全相同，因为在将总函数的类型应用于所需参数之前，可能需要对其进行更新（实际上是经过改进）。结石是“咖喱风格”演算和等于STLC + $\lambda$ 和
$\frac{Γ ⊢ M : τ Γ ⊢ M : σ}{Γ ⊢ M : τ \cap σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$ 很显然，该“解释”通向一致的逻辑解释。 $\frac{Γ ⊢ 中号： τ \cap σ}{Γ ⊢ 中号： τ} \frac{Γ ⊢ 中号： τ \cap σ}{Γ ⊢ 中号： σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$ $\cap=\wedge$
存在一类类型系统，即纯类型系统，其中此类问题可能很精确。但是，在此框架中，逻辑解释不太清楚。有人可能会说：“如果PTS具有无人居住的类型，则它是一致的”。但这是行不通的，因为类型可能存在于不同的“宇宙”中，其中某些可能是一致的，而有些则可能不一致。 Coquand和Herbelin定义了“ 逻辑纯类型系统”的概念，在这个概念中问题是有道理的，并表明

每个不一致的，非依赖的 LPTS都有一个循环组合器（图灵完成也是如此）

在这种情况下，哪个方向回答了一个问题（不一致）。据我所知，关于通用LPTS的问题仍然悬而未决。 $\Rightarrow$

编辑： Coquand-Herbelin结果的相反过程并不像我想的那么简单！到目前为止，这是我想出的。

甲逻辑纯类型系统是与PTS（至少）的种类和，（至少）公理和（至少）的规则，并进一步要求没有类型的。 $\mathrm{Prop}$ $\mathrm{Type}$ $\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$ $(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$ $\mathrm{Prop}$

现在，我将假设图灵完整性的特定声明：修复LPTS 并让为上下文 $L$ $\Gamma$

Γ = n a t : P r o p, 0 : n a t, S : n a t \to n a t

$\Gamma = \mathrm{nat}:\mathrm{Prop},\ 0:\mathrm{nat},\ S:\mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

的图灵完备当且仅当对于每个总可计算函数有一个术语使得并为每 $L$ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $t_f$

Γ ⊢ t_{f} : n a t \to n a t

$\Gamma \vdash t_f : \mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

n \in N

$n\in\mathbb{N}$

t_{f} (S^{n} 0) \to_{β}^{*} S^{f (n)} 0

$t_f\ (S^n\ 0)\rightarrow^*_{\beta} S^{f(n)}\ 0$

现在，安德烈的对角化论证表明，有是非终止的型。 $t$ $\mathrm{nat}$

现在看来我们已经中途了！给定一个非终端项，我们要替换的出现由一些通用的类型，摆脱和在，我们将有我们的不一致性（有人居住在上下文）！ $\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$ $\mathrm{nat}$ $A$ $0$ $S$ $\Gamma$ $A$ $A:\mathrm{Prop}$

不幸的是，这很容易卡住我，因为很容易用标识替换，但是则更难消除。理想情况下，我们想使用一些Kleene递归定理，但我还没有弄清楚。 $S$ $0$

— 科迪
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好的，因此请先对您的发言做两点澄清（1）。当您说此交集类型系统不可递归枚举时，您是什么意思？当然，系统定理的集合是重新的，因为您已经将其定为直接的后续演算。另外，我看到您所链接的论文中证明的结果是，系统中可键入的术语恰好是严格归一化的术语。但这与说它可以准确键入全部可计算函数有什么不同吗？比如，是不是

强烈正常化，但不是全部？

λ x . x x

$\lambda x. xx$

— Morgan Thomas

现在，关于您的发言的问题（2）。在我看来，您引述的定理不是我们感兴趣的定理。它说，对于每个非依赖的LPTS，如果不一致，那么它就是图灵完成的。但是我们想知道是否对于每个LPTS，如果它的图灵完成，那么就不一致了。我在这里误会什么吗？

— Morgan Thomas

@MorganThomas：啊，你是对第一点正确的：我的意思说的是，该类型的系统不能可判定，即给定

，声明

是不可判定。我会在帖子中更正此问题。

Γ, t, A

$\Gamma, t, A$

Γ ⊢ t : A

$\Gamma\vdash t:A$

— 科迪2015年

第二点：您还可以正确地确定一个非总计函数的类型正确（尽管不一定将其应用于给定的参数）。我会修改答案。

— 2015年

第三点。你又是对的！但是，相反的情况（在LPTS的特殊情况下）则微不足道。我将概述论点。

— 2015年

这是@cody对我的问题进行精确描述的一种答案。如果我们允许引入其他公理和归约规则，则存在一个一致的LPTS，大致在@cody的意义上是图灵完成的。因此严格来说，该系统不是 LPTS。它仅仅是一个类似的东西。 $\beta$

考虑构造的演算（或您最喜欢的 cube 成员）。这是一个LPTS，但我们将添加额外的内容，使其不成为LPTS。选择常量符号，然后添加公理： $\lambda$ $\text{nat}, 0, S$

⊢ nat : *

$\vdash \text{nat} : \ast$

⊢ 0 : nat

$\vdash 0 : \text{nat}$

⊢ S : nat \to nat

$\vdash S : \text{nat} \to \text{nat}$

指数自然数图灵机的程序，并为每个自然数，选择一个常量符号，添加公理，并为所有，添加 -还原规则 $e$ $f_e$ $f_e : \text{nat} \to \text{nat}$ $e,x \in \mathbb{N}$ $\beta$

f_{e} (x) \to_{β} Φ_{e} (x),

$f_e(x) \to_\beta \Phi_e(x),$

其中照常是的输出个上图灵机程序。如果发散则此规则不执行任何操作。注意，通过添加这些公理和规则，系统的定理仍然可以递归枚举，尽管它的简规则集不再是可判定的，而仅是递归可枚举的。我相信，通过在系统的语法和规则中明确说明计算模型的细节，我们可以轻松地确定简规则集。 $\Phi_e(x)$ $e$ $x$ $\Phi_e(x)$ $\beta$ $\beta$

现在，从蛮横的角度来看，这个理论显然是图灵大致上的图灵完成的；但声称它也是一致的。让我们构建一个模型。

$U_1 \in U_2 \in U_3$

$\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$ $S$
$a \in b \in U_i$ $a \in U_i$
$A, B \in U_i$ $B^A \in U_i$
$A \in U_i$ and $f : A \to U_i$ , then $\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$ .

The existence of such sets follows, for example, from ZFC plus the axiom that every cardinal is bounded by an inaccessible cardinal; we can take each set $U_i$ to be a Grothendieck universe.

We define an "interpretation" to be a mapping $v$ from the set of variable names to elements of $U_2$ . Given an interpretation $v$ , we can define an interpretation $I_v$ of terms of the system in the evident way:

$I_v(x) = v(x)$ , for $x$ a variable name.
$I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$ .
$I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$ .
$I_v(f_e) = \Phi_e$ , i.e., the function $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ defined by the $e$ th Turing program.
$I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$ , if $I_v(A)$ is a function with $I_v(B)$ in its domain, or $I_v(AB) = 0$ otherwise (just an arbitrary choice).
$I_v(\lambda x : A. B)$ is the function which maps an element $a \in I_v(A)$ to $I_{v[x:=a]}(B)$ .
$I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$ .

We have that for all terms $A$ , $I_v(A) \in U_3$ . Now we say that an interpretation $v$ satisfies $A : B$ , written $v \models A : B$ , if $I_v(A) \in I_v(B)$ . We say that $\Gamma \models A : B$ if for all interpretations $v$ , if $v \models x : C$ for all $(x : C) \in \Gamma$ , then $v \models A : B$ .

It is straightforward to check that if $\Gamma \vdash A : B$ , then $\Gamma \models A : B$ , so this is a model of the system. But, for any variables $x,y$ , it is not the case that $y : \ast \models x : y$ , because we can interpret $y$ by $\emptyset$ , so the system is consistent.

Now, this is an answer to my original question, in the sense that this is something that it's reasonable to call a typed lambda calulus, which is consistent and Turing complete. However, it's not an answer to @cody's question, because this is not an LPTS, because of the addition of extra axioms and $\beta$ -reduction rules. I imagine that the answer to @cody's question is much harder.

— Morgan Thomas
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This is a nice answer, but I'm not sure you need to go through all those calisthenics to prove consistency: a term of type

A

$A$ in the empty context can be "de-sugared" to a term in the CoC: I'll call the

f_{e} (x) \to Φ_{e} (x)

$f_e(x)\rightarrow \Phi_e(x)$ rules $\iota$ -rules and keep

β

$\beta$ for the usual ones. Perform all

β

$\beta$ -reductions (this terminates since you have only added constants), and replace every term of the form

f_{e} (x)

$f_e(x)$ by its reduct if it has one. The idea here is that the

ι

$\iota$ -rules only operate on ground terms, so you can do all the

β

$\beta$ -reductions first to get them out of the way.

— cody

I think you're right. This is not my field, so I'm a bit clumsy doing things. :-) I think your proof works, and one interesting consequence, if I'm right, is that this theory doesn't have very much consistency strength. It looks like a potentially very powerful theory, since it has types and natural numbers, which should let you interpret set theory; but apparently you can't, because you can prove it consistent without using powerful set theory!

— Morgan Thomas