与模式无关的模式：多种模式

Kalai的2页SODA论文提供了一种简单高效的算法，无需关心（匹配一个字符的通配符）即可进行模式匹配。本质上，它就像卷积一样容易。

但是，如果我们随意搜索多个模式会怎样？我们还能通过基于FFT的技术以某种方式解决它吗？

对于多模式情况，似乎除非至少强大的指数时间假设失败，否则简单地扫描每个可能都是最好的解决方案。

回忆给定的集合 $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ 和 $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ 在宇宙之上 $[m]$，如果我们可以决定是否有 $S_i$ 和 $T_j$ 这样 $S_i \cup T_j = [m]$ 及时 $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$，则SETH失败，即我们有一个带有运行时间的CNF-SAT算法 $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$。

给定集 $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ 和 $T_1, T_2, \dotsc, T_n$，我们将上述问题编码为多模式匹配，而不关心二进制字母，如下所示：

• 文字是 $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ 哪里 $[T_i]$ 是的自然编码 $T_i$ 作为二进制字符串。
• 我们有 $n$ 形式模式 $1\langle S_i \rangle 1$，在哪里 $\langle S_i \rangle$ 是一个字符串 $y = y_1y_2\dots y_m$ 这样 $y_j = 1$ 如果 $j \notin S_i$ 和 $y_j = *$ 如果 $j \in S_i$ （这里 $*$ 是“忽略”符号）。

现在很明显，一个模式 $1\langle S_i \rangle 1$ 可以匹配出现的文本 $1[T_j]1$，并且只有在 $S_i \cup T_j = [m]$。模式的总长度和文本的长度均为$O(nm)$，例如，针对多个模式的近线性单遍算法将比最著名的CNF-SAT算法带来实质性的改进...

（请注意，对于使用大量时间对模式进行预处理（例如，模式总长度为二次方）的算法，这没有说什么。）