PA的相对一致性和一些类型理论

对于类型理论，通过一致性，我的意思是说它具有一个无人居住的类型。从拉姆达立方体的强范式，它遵循系统和系统˚F ω是一致的。MLTT +归纳类型也具有归一化证明。但是，这些都应足够强大以构建PA模型，这从这些理论证明PA是一致的。系统F的功能非常强大，因此我希望它能够通过使用教堂数字构建模型来证明PA的一致性。MLTT + IT具有自然数归纳类型，还应证明其一致性。$F$$F_\omega$$F$

这一切都意味着这些理论的归一化证明不能在PA中内部化。所以：

1. CAN系统，系统˚F ω和MLTT + IT实际上证明了PA的一致性？$F$$F_\omega$
2. 如果可以，需要什么，然后向元理论证明了系统规范化，˚F ω和MLTT + IT？$F$$F_\omega$
3. 一般而言，类型理论的证明理论，尤其是其中的某些类型理论，是否有很好的参考？

简短的回答你的问题1是没有，但也许微妙的原因。

首先，系统和˚F ω无法表达的算术一阶理论，以及更少的一致性P 一。$F$$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

其次，这着实令人吃惊，实际上可以证明这两个系统的一致性！这是通过所谓的不相关证明模型完成的，该模型将类型解释为集合∈ { ∅ ，{ ∙ } }，其中∙是表示非空类型居民的虚拟元素。然后一个可以写下简单的规则操作→和∀这种类型，而很容易地得到系统的模型˚F，其中型∀ X 。X被解释$\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$$F$$\forall X.X$$\varnothing$。我们可以做类似的事情了，使用多一点关心解释高种为有限功能的空间。$F_\omega$

这里有一个明显的悖论，其中可以证明这些看似功能强大的系统的一致性，但不能（如我稍后所述）归一化。$\mathrm{PA}$

这里缺少的要素是可实现性。可实现性是一种使某些程序与某些命题相对应的方法，通常是在算术中。我不会详谈这里，但如果程序实现了命题φ，写成p ⊩ φ，那么我们有一定的证据为φ，特别是如果p是正火，然后p ⊮ ⊥。我们有：$p$$\phi$$p\Vdash \phi$$\phi$$p$$p\not\Vdash\bot$

定理：如果是第二顺序算术的定理P 阿 2，则存在一些封闭术语吨系统的˚F使得吨⊩ $\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$$F$

$$t\Vdash\phi$$

$\mathrm{PA}$

$$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$$ $\mathrm{PA}$$F$$F$

$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

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$\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

$\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

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最后，参考类型系统的证明理论：我认为这里的文献确实存在空白，我会津津乐道地对待所有这些主题（实际上，我梦想有一天自己写它！）。同时：

• Miquel和Werner 在这里解释了与证明无关的模型，尽管它们是针对构造微积分进行的，这使事情变得有些复杂。

• 可实现性论点在经典的吉拉德（Girard），泰勒（Taylor）和拉芳特（Lafont）的证明和类型中得到了概述。我认为他们还勾画了与证明无关的模型，此外还有很多有用的东西。它可能是第一个阅读的参考。

• 高阶Heyting算术的保守性论点可以在 Troelstra和van Dalen撰写的难以理解的第二本《建构主义数学》中找到（请参阅此处）。这两本书都是非常有用的，但是对于新手恕我直言很难读。它还在某种程度上避免了“现代”类型的理论主题，考虑到书籍的年龄，这并不奇怪。

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评论中的另一个问题是关于MLTT +电感器的确切一致性强度/归一化强度。我在这里没有确切的答案，但是肯定的答案取决于宇宙的数量和允许的归纳族的性质。Rathjen在出色的论文《某些Martin-Lof类型理论的强度》中探讨了这个问题。

$\cal{T}$$\cal{U}$

$$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$$

然后，一般

$$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$$

$\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

$\mathrm{HA}_\omega$

至于带有归纳递归或归纳归纳的MLTT，我不知道情况如何，对于AFAIK，精确一致性强度的问题仍然存在。