我们可以通过在超序数上归纳来证明系统F的弱归一化吗

可以通过对归纳证明简单类型的lambda演算的弱规范化（图灵）。具有自然数递归的扩展Lambda演算（Gentzen）通过在上归纳，具有较弱的归一化策略。$\omega^2$$\epsilon_0$

那么系统F（或更弱的系统）呢？这种样式是否存在弱的归一化证明？如果没有，那完全可以做到吗？

关于构造证明理论（与构造序数理论紧密相关）和二阶命令式算术（Ulrik指出，等效于系统F的强度）之间的关系的最全面的综述是Girard（1989）。在那里，他以自己的扩张器理论（1981）为基础，我并不真正遵循，但我认为本质上是提供了一种高阶Skolemisation的非建设性理论。

我的理解是，你不能表达建设性的主教马丁- LOF感公式，因为他们是你不能加入任何形式的一阶导计划的消除方式impredicative。$\Sigma^1_2$

我记得曾向一位顺序理论家建议，可以简单地规定，您可以在基于多态Lambda微积分的类型理论中建立强制性建构主义，并使用吉拉德（Girard）SN证明对系统F的归约候选技术强加一个合理的总阶。构造的宇宙，称您从中得到的等价类为普通类；他说了些聪明的话，我带走了是说您可以使它起作用，但相比于诚实的劳动，它具有偷窃的所有优势。为了使它起作用，仅在集合论中证明此类序数的存在是不够的，您需要针对该订单进行三分法的建设性证明。

综上所述，根据毕晓普-马丁-洛夫（Bishop-Martin-Löf）提出的直觉主义建构的常识，我所知道的文献强烈建议不要。如果您不喜欢诚实的劳动，并且会接受强制性的建构主义，那么我的猜测是，可以做到。自然，您将需要一个更强的理论，即系统F可以建设性地证明所需的三分法，但是归纳构造的微积分提供了一个明显的候选者。

参考文献

1. 芝，让-伊夫（1981），编辑逻辑。I.扩张者，《数学逻辑年鉴》 21（2）：75–219。$\Pi^1_2$
2. Girard（1989）证明理论与逻辑复杂性，第一卷。我那不勒斯：图书馆。没有第二卷。

$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

希望有一天，有人会为所有人都同意的二阶算术提出一个序数表示法，然后可以用一种诚实的方式证明系统F的弱归一化。

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

此外，我认为二阶算术非常强大，并且尚无构造上界因其“证明理论序数”而闻名（序数分析的艺术，第3节）。

我认为，这种有建设性的序数界限是进行您要求的归纳所需要的。