是否存在仅包含n位实例一半的NP完全语言？

是否存在（最好是自然的）NP完全语言，这样对于每成立？换句话说，恰好包含所有位实例的一半。 $L\subseteq \{0,1\}^*$ $n\geq 1$

| L \cap {0, 1}^{n} | = 2^{n - 1}

$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$

L

$L$

n

$n$

cc.complexity-theory np np-complete

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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如果没有，但是想一想几分钟却找不到结构，那将是非常令人惊讶的。

— 卡夫

FWIW有一个这样的，即 -NP和NP / POLY ...

L

$L$

— Neal Young

对于CNF公式的双射二进制编码，可满足满足应该起作用。

e

$e$

{e (φ) 1 | φ

$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$

} \cup {e (φ) 0 | φ

$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$

}

$\}$

— 克劳斯·德拉格

@KlausDraeger不满足性不是NP属性，除非NP = co-NP。

— Andras Farago

是否有任何oracle使得中不存在具有此属性的？

O

$O$

L \in {N P - C o m p l e t e}^{O}

$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— Erfan Khaniki '16

Answers:

几年前我问了这个问题，巴拉兹（Boaz Barak）肯定地回答了。

该语句等效于存在NP完全语言，其中是多项式时间可计算的。 $L$ $|L_n|$

考虑布尔公式和SAT。使用填充并稍微修改公式的编码，我们可以确保和具有相同的长度。 $\varphi$ $\lnot \varphi$

令为编码 $\langle\ \rangle$

对于所有公式和所有真值分配，。 $\varphi$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
$|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$ 是多项式时间可计算的。
编码长度为的公式的数量是多项式时间可计算的。 $n$

考虑

L := {⟨ φ ⟩ ∣ φ \in S A T} \cup {⟨ φ, τ ⟩ ∣ τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ}

$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$

容易看出是NP完全的。 $L$

如果，满足值分配数量等于满足真值的数量作业。添加它本身加起来满足对真理的任务数量。 $\varphi \in \mathsf{SAT}$

τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ

$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$

- 1

$- 1$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

有真值分配。每个都可以满足或（并且不能同时满足）。对于每个公式，请考虑字符串，，和为。恰好这些的字符串是在。这意味着长度为 in 的字符串数 $2^{|\varphi|}$ $\tau$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ $\varphi$ $2(2^{|\varphi|}+1)$ $\langle\varphi\rangle$ $\langle\lnot \varphi\rangle$ $\langle\varphi, \tau\rangle$ $\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|+1}+2$ $L$ $n$ $L$ 是编码长度为的公式乘以的数量，该数量可以多项式时间计算。 $\varphi$ $n$ $2^{|\varphi|}$

— 瑞安·奥唐奈
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即使这是理想的解决方案，这也是一个唯一的链接答案。

— user2943160 '16

需要明确的是，SAT没有什么特别的，它可以与任何验证者谓词一起解决NP完全问题。

— 卡夫

@Kaveh，您不是在这里使用SAT的特殊属性吗，实例是成对，配对的，以使任何给定的见证人都是一对中的两个见证人的见证人？您将如何执行此操作，例如3-COLOR？

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot \phi$

τ

$\tau$

— Neal Young

@Neal，让V（x，y）成为NP完全问题的验证者。考虑W（x，b，y）：= V（x，y）= b。它仍然是NP完全的，每个y都是x，0或x，1的见证。虽然不如SAT好。

— 卡夫

@Kaveh，例如使用SAT是否建议但这在P中，并且如果您尝试通过与进行联合来解决，则联合都是NP硬和共NP硬的（因此很可能不在NP中）。编辑：哦，我明白了，您的意思是将与例如 ...

A = {(ϕ, b, τ) : (τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1} ?

$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$

B = {(ϕ, b) : τ \in S A T \leftrightarrow b = 1}

$B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$

A \cup B

$A\cup B$

A

$A$

C = {(ϕ, b) : \exists τ . [(τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1]}

$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

— 尼尔·扬

这是一个建议，说明为什么很难举一个这样的例子，尽管我同意卡夫的评论，即如果不存在它会令人惊讶。[不是答案，但评论太久。]

假设某人，说我，想出了这样的语言。我自然可以证明是要在和之间建立一个双射。由于我个人无法确定困难问题的实例，因此，我将要提出的大多数“简单”双射都将采用“是一个长度保持双射，以及当且仅当 “。此外，我很可能想出可以在多项式时间内计算的。但是之后 $L$ $L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$ $L \cap \{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n \backslash L$ $\mathsf{NP}$ $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $x \in L$ $f(x) \notin L$ $f$ $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ ，因为是从到。 $f$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

当然，可以通过“简单地”使双目数比之更难计算来解决此异议。如果您的双射需要指数时间-说出来它的倒数可能都是 -hard-那么我认为您很安全。但是，如果仅花费了拟多项式时间，那么请注意，您仍然会得到，从中可以得出一个简单的带有填充参数的归纳。现在，如果您认为前面的限制完全是错误的，那么没有任何准准时间可计算双射可以拯救您。但是，即使您相信这可能是对的，但通过提出这样一个双射，您将证明 $\mathsf{EXP}$ $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ ，这似乎超出了当前的知识...

也可以通过简单地不具有这样的双射来解决该异议，但是首先似乎很难看清如何证明具有所需的属性...实际上，即使您的证明不是双射，您需要的情况是甚至不存在这种容易计算的双射。 $L$

当然，这也是有人会举一个例子的事情的类型，我们将很容易看到它如何解决这个异议，但是我只是想把它扔在那里，说出只要有足够简单的双射就可以做什么不起作用（除非普遍持有的信念是错误的）。

（相关问题：是否有一个与之相对的甲骨文，没有这样的？） $L$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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