Shor算法的2016年实现是否真的可扩展？

在2016年科学论文“ 可扩展Shor算法的实现 ” [ 1 ]中，作者分解了15个仅有5个量子位的因子，这比根据[ 2 ]的表1 和[ 3的表5]所要求的8个量子位要少。]。8比特的要求来自[ 4 ] 的末尾，它指出分解一个比特数所需的qubit 数为，对于15而言为。 $n$ $1.5n+2$ $1.5\cdot 4 + 2=8$

仅使用5个量子位的论文指出，他们的算法“将作用于M个量子位的QFT替换为重复作用于单个量子位的半经典QFT”，但是这种算法对算法复杂性的后果却从未提及。

现在，对论文以“可缩放”的方式声称因子15的批评遭到了严厉批评，正如他们在第2节中所说的那样，Shor算法的复杂性论点不再成立。但是，这种批评在任何地方都没有得到证实，《科学》杂志不断以Shor算法的“可扩展”版本而广受赞誉。“可伸缩” Shor算法的复杂性是什么？

[ 1 ] Monz 等。（2016）科学。卷 351，第6277期，第1068-1070页
[ 2 ] Smolin 等。（2013）Nature。499，163–165
[ 3 ] Dattani＆Bryans（2014）arXiv：1411.6758
[ 4 ] Zalka（2008）arXiv：quant-ph / 0601097
[ 5 ] Cao＆Luo “评论：可扩展Shor算法的实现”

— 用户名
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取决于您所说的“可扩展”。曹和刘的一些批评似乎有些挑剔。例如，他们的批评之一是Kitaev并没有声称您只能在引用的论文中使用一个量子位来获得此结果。他们似乎没有调查这一说法本身是对还是错。实际上，正如《科学》论文声称的那样，尽管Kitaev的算法中似乎没有提出这一主张，但实际上可以将Kitaev的算法修改为仅使用一个量子位。

— 彼得·索尔

@PeterShor，很荣幸收到您的来信！好的，这样的作者（正确地）扩展了Kitaev的论文的结果，使其仅用一个量子位就可以实现，而Cao＆Liu抱怨说，他们称其为“ Kitaev算法”，而不是“改良的Kitaev算法或类似的算法”。但是，他们还说，将QFT转换为“半经典QFT”时，复杂性论点不再成立。在进行此类分析时，我还是一个学生，所以我很感谢您的投入。复杂度是否仍为O（log n）^ 3？就多项式而言，还是至少<GNFS，它是否仍是“可伸缩的”？

— user1271772

我会让别人回答这个问题，因为人们可能会说我有偏见。但请允许我指出，《科学》杂志的作者并未扩展Kitaev的算法……这是众所周知的扩展。他们只是没有引用正确的参考。

— 彼得·索尔

这些达到8个量子位的公式采用了Shor算法的一些特定实现，并计算了该实现需要多少个量子位。他们没有声称这是最好的实现。

— 彼得·索尔

@ user1271772由于您是您自己的帖子中提到的一位作者，因此被标记为谨慎关注。并不是很糟糕，一些自我宣传是科学不可避免的一部分，但也许最好弄清楚这一点？

— 比昂·乔斯·汉森（BjørnKjos-Hanssen）

Cao和Luo提出论点的主要目的是，在所实施算法的变体中，第一个寄存器（最终包含输出）仅包含1位。而且，如果您仅从算法中获得1位输出，则不足以进行因式分解。（一方面，尽管这不是他们的论点，但显然1位没有足够的信息来确定因素。）

Cao和Luo似乎没有意识到的是，对于第一个寄存器中只有一位的傅里叶变换，与标准因子分解算法输出的值相同；一次只输出一位。 此更改不会影响运行时间。 $c$ $O(\log^3 N)$

为了对Cao和Luo公平起见，他们说他们认为该算法不起作用，如果它可以起作用，则它不是Shor的算法，因为它与原始因子分解纸中描述的算法不完全匹配。他们的论文引述：

最后，我们要强调的是，如果实现确实可靠，那么它将是一种新的量子分解算法，而不是Shor算法，因为不能满足原始Shor算法的所有要求。

确实，这不是我原始保理论文中的算法。它使用Kitaev分解因式算法的相位估计程序，以及由Griffiths和Niu（而不是我在此答案的上一编辑中所说的Parker和Plenio发现的）的变体，使算法输出相位估计值。一次一位。

— 彼得·索尔
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请告诉我在曹和罗的论文中，他们说一次输出一位会影响运营成本。如果我正确阅读了他们的论文，他们不会。我认为我已充分驳斥了他们的批评。

— Peter Shor

他们的批评是（1）如果您只有一点点输出，那么连续分数算法将不起作用。注意到您实际上有多个输出，从而驳斥了这一点。（2）如果只有一位输出，则每个输出的概率都不正确。注意到您实际上有多个输出，再次驳斥了这一点。（3）唯一使用的乘法电路是将相乘的乘法电路，其中是预先计算到乘法电路中的固定数。我没有在回答中反驳这一点，但这只是您需要考虑的因素。

c

$c$

x \cdot t

$x\cdot t$

t

$t$

— Peter Shor

我将不涉及用于单比特输出相位估计的电路，也不会解释为什么实现此所需的相对较小的变化不会影响时间复杂度。这是Parker和Plenio 论文第2页上描述的“半经典”修改，使用单个纯qubit和log N个混合qubit进行有效分解。

— Peter Shor

要从“一个控制量子位或飞行量子位”变为，您可能需要真正理解它们的论文。在在是一个控制量子位。

\log N + 1

$\log N + 1$

1

$1$

\log N + 1

$\log N + 1$

— 彼得·索尔

正如我所说，您必须阅读并理解该论文。如果您不信任我，请自己算一下。该算法的基本结构没有改变。

— 彼得·索尔