常规语言和持续的沟通复杂性

让 $L \subseteq A^*$ 是一种语言，并定义 $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ 通过 $f_L(x, y) = 1$ iff $x\cdot y \in L$ 。我正在寻找以下方面的参考：

主张。 $L$ 如果确定性的通信复杂性是正常的 $f_L$ 是恒定的。

换一种说法， $L$ 如果存在两人协议，这是正常的 $P$ 对于 $f_L$ 这样的功能

n \mapsto max {comm (P, x, y) : | x \cdot y | = n}

$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$ 以一个常数为界

comm (P, x, y)

$\text{comm}(P, x, y)$ 是当Alice收到时Alice和Bob交换的位数

x

$x$ 和鲍勃

y

$y$ ，遵循协议

P

$P$ 。

我能找到的唯一地方是在1989年的乔治·豪瑟（George Hauser）的博士学位论文中，他还在这里将其推广到其他输入分布中。 $x\cdot y$ 在爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）之间，这样“剪切”的数量是恒定的。

reference-request communication-complexity regular-language

— 米歇尔·卡迪拉哈克（MichaëlCadilhac）
source

学习语言

C

$C$ 那是不规则的，并定义

L = {c \circ r : c \in C, r \in {0, 1}^{| c |}}

$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$ 。然后

L

$L$ 沟通复杂

O (1)

$O(1)$ ，但这当然不是常规的。我想念什么？

— 伊戈尔·欣卡

@IgorShinkar：我不确定我在那里写的准确，但是您似乎暗示着经典的证明，即每长度一个单词的每种语言都可以转换为具有恒定沟通复杂性的语言。但是，这是假设Alice和Bob接收的词正好是一半。在这里，有没有这样的假设，并且，在一个对抗性的方式，他们应该给出解决该问题的任何输入的分裂。这是否回答你的问题？

— 迈克尔Cadilhac

哦，我明白了。因此，如果对于任何拆分，CC为常数，则

L

$L$ 是正常的。

— 伊戈尔·辛卡

对于 $\Rightarrow$ ，您有“通信复杂性”，Eyal Kushilevitz，计算机进步杂志，第44卷，1997年（http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423）。

您还可以在JurajHromkovič撰写的《通信复杂性和并行计算》一书中找到“通信复杂性和Chomsky层次结构”部分，并进行了证明。可能是 $\Leftarrow$ 在书中的某处也得到证明，但我在这里找不到。似乎最接近的东西是练习5.2.5.2，但这只是一个练习（另请参阅第5章，它广泛研究了有限自动机，但我认为它不能明确回答您的问题）。

就其价值而言，双向证明似乎很容易，所以我认为，如果您需要用纸做的话，可以快速绘制草图： $\Rightarrow$ ，取一个有限的自动机 $L$ 并观察到，爱丽丝在阅读了输入的一部分之后就足以传达她所达到的状态。然后，Bob在自动机中完成了模拟。对于 $\Leftarrow$ ，如果您有一个以常量为边界的协议，则 $L$ 商数有限 $w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$ 这是常规语言的众所周知的特征。

— 霍尔夫
source

非常感谢您的输入。我确实同意这是一个简单的结果，并且是很自然的结果，应该将其视为民间传说。实际上，我知道您提供的两个参考文献都很好，而且正如您所做的那样，在其中找不到我正在考虑的协议。由于这个问题是“参考要求”，因此我目前无法接受您的回答。

— 迈克尔Cadilhac

我知道，但是评论太久了，我认为仍然值得一提的是，至少有一种方法在文献中得到了明确证明。如果让我迷迷糊糊，我会让你知道！

— holf '16

非常感激！:-)

— 迈克尔Cadilhac