NP中的欧式TSP和平方根复杂度

在Ola Svensson的本讲义中：http : //theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf，据说我们不知道Euclidean TSP是否在NP中：

原因是我们不知道如何有效地计算平方根。

另一方面，有Papadimitriou撰写的这篇论文：http : //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123说它是NP完全的，也意味着它在NP中。尽管他没有在论文中证明这一点，但我认为他认为NP的成员资格微不足道，这通常与此类问题有关。

我对此感到困惑。老实说，我们不知道欧几里得的TSP是否在NP中的说法震惊了我，因为我只是认为它是微不足道的-以TSP巡回赛作为证书，我们可以轻松地检查它是否有效。但是问题是可能存在一些平方根。因此，讲义基本上声称我们不能在多项式时间内解决以下问题：

任意有理数，决定是否$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$。$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

问题1：我们对这个问题了解什么？

这使我无法找到以下简化：

$n=1$

$q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

问题3：是否存在这样的实例号码？

$\text{input-size}$

$24/13$$2.5334\overline{567}$

$n$$n$

$n=1$$q \le A^2$

$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4。我认为小数表示可能效率不高。周期的长度是分母为10的乘积阶数，分母的位数可以是指数级。

你写了：

另一方面，有Papadimitriou撰写的这篇论文：http : //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123说它是NP完全的，也意味着它在NP中。尽管他没有在论文中证明这一点，但我认为他认为NP的成员资格微不足道，这通常与此类问题有关。

您为什么不简单地阅读论文，而不是发布这样的废话呢？在第239页上，Papadimitriou仔细讨论了这些问题，并定义了欧几里德度量标准的基本变体作为证明。