图灵机的“类别”？

免责声明：我对复杂性理论了解甚少。

很抱歉，但是如果没有（非常）简洁，实际上是没有办法提出这个问题的：

图灵机的“ the”类别中的态素应该是什么？

这显然是主观的，并且取决于人对理论的解释，因此，对该问题的答案在理想情况下也应提供一些证据和推理来支持该答案。

我想强调的一点是，我要寻找的是图灵机类别，而不是形式语言。特别是我认为我的词素处理应包含比精简或精简等更好的信息（不过我不确定）。

当然，如果文献中已经有一个知名且使用过的类别，我想知道它是什么。

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— 萨尔·哈达利（Saal Hardali）
source

您自己说过-可计算的功能。

— Yuval Filmus

@Raphael的问题是，除非将其放在类别中，否则您永远不会真正定义结构。那时剥夺了特定定义的非本质特征。

— Saal Hardali '17

@SaalHardali请记住，并非每个人都赞同范畴论者提出的救赎承诺。实际上，很多人都在翻白眼。

— 拉斐尔

@JoshuaGrochow 如果

将

减少到

（或者反之亦然），则存在从

到

标为

的态射，即

。就是说，这对于每次输入都停止或不停止但没有任何进一步输出的机器。

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— Yuval Filmus

旁白：为什么TM应该是对象？它们也可以是态射。

— Martin Berger

Answers:

萨尔·哈达利（Saal Hardali）提到，他想要一类图灵机来进行几何（或至少是同伦理论）。但是，有许多不同的方法可以实现相似的目标。

在可计算性和拓扑之间有非常强的类比。直觉是终止/非终止就像Sierpinski空间一样，因为终止是可观察到的（即开放的）而非终止不是（不开放的）。请参阅Martin Escardo的讲义，对数据类型和经典空间进行综合拓扑，以对这些思想进行适度而全面的介绍。
在并发和分布式计算中，将程序的可能执行视为一个空间通常很有用，然后可以将各种同步约束表示为该空间的同位性质。（执行具有时间顺序的事实似乎需要定向同伦理论，而不是普通的同伦理论。）

有关更多详细信息，请参见Eric Goubault的文章“并发理论的一些几何观点”。另请参见Maurice Herlihy和Nir Shavit的Goedel奖获奖论文“异步可计算性的拓扑结构”，该论文解决了分布式编程理论中一些长期存在的开放性问题。
第三个想法来自同伦类型理论，这一发现是马丁-洛夫类型理论是（很可能是）欧米茄类群论的句法表现形式（即生成器和关系），即抽象模型同伦理论。这些思想的最好的介绍是同伦类型理论书。

请注意，所有这些想法彼此都非常不同，但是所有想法仍然使用几何直觉！还有其他一些我不知道的东西，例如几何复杂性理论中出现的用途，以及可以根据图的（共）同源性理论描述电路理论的方式。

基本上，当您进行CS时，几何是一种工具 -使用它来形式化直觉，以便您可以通过在其上进行的大量工作来获得影响。但这是一个想法放大器，而不是想法的替代品！

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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如果您的对象是图灵机，那么射晶有几种合理的可能性。例如：

1）将图灵机视为自动机，并考虑自动机通常的形态学（字母与彼此一致的状态之间的映射），这些形态也可以保留磁带头的运动，或者正好相反它们（例如，只要源TM左移，目标TM右移，反之亦然）。

2a）考虑模拟或双模拟。

2b）按照类似的思路，您可以考虑何时可以转换一个TM（通过可计算函数）以模拟另一个TM。这可以在逐步行为的级别上完成，也可以如Yuval在评论中所建议的那样，在输入输出级别上完成，也就是说，从到的态射（或者反之亦然）是可计算的，使得对于所有，。 $T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3）考虑图灵机的过渡图（每个顶点都是对机器和磁带状态的完整描述，其有向边对应于TM会进行的过渡）并考虑图的态射。对于TM来说，这是一个非常粗糙的关系，因为它本质上忽略了计算的本地性质（例如，它忽略了磁带的内容是什么）。

我认为真正的问题是：什么是你想知道有关的TM或做与他们？在没有这种情况的情况下，很难为自然界中的任何一个定义提供论据，而超出自然界（通常用这个词的含义，而不是范畴的含义）。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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我对这种数学很陌生。我过去读过有关复杂性理论的文章，但直到最近我才在网上看到有人声称同调技术将在下个世纪进入复杂性理论，并且引起了我的兴趣之后，我又重新进行了研究。经过一番阅读后，我意识到除了对图灵机的定义有一些肤浅的了解之外，我基本上不知道它确切地编码了什么。这就是我提出这个问题的方式。因此，您可以说，我在一个非常基本的层面上试图想象同调性如何进入复杂性理论。

— Saal Hardali '17

我意识到，对于像我这样对这个话题了解甚少的人来说，这还为时过早，我仍然想在我的脑海中“在图灵机类别上做同伦理论”的脑海中讨论一下这个想法。您的回答很好，我当然希望进一步了解它的各个方面。谢谢。

— Saal Hardali '17

@SaalHardali：我很好奇你在哪里读到同性论将进入复杂性理论？我可以想到两种方式，但是我还没有看到通过同伦类型理论的路线（可能是因为我对HoTT的了解还不够）。我可以看到两种方式：（1）在分布式计算中，这种情况已经发生。Herlihy和Rajsbaum，以及（2）通过几何复杂性理论。

— Joshua Grochow

通过同伦理论，我转向研究弱等价物而不是HoTT的类别的一般思想。我在有关P =？NP的民意测验中阅读了它，不难发现我认为它与本网站的一个问题相关。我想我（作为局外人）的第一个猜测是，在某种程度上对应于复杂度类的计算模型的某种类别上可能存在某种有趣的弱等价问题，然后研究在这些弱等价情况下不变的函子将构成我所说的“同性恋理论”，这可能是非常幼稚的，但却完全错过了。

— 萨尔·哈达利

如果您的兴趣是复杂性理论而不是可计算性理论，那么此答案可能对您有所帮助：cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sasho Nikolov

您可能对Robin Cockett和Pieter Hofstra的Turing类别感兴趣。从类别理论的角度来看，“什么是图灵机的类别”这个问题比“什么是计算基础的分类结构”有趣。因此，罗宾（Robin）和彼得（Pieter）确定了适合发展可计算性理论的一般类别。然后，存在几种从图灵机开始定义此类的可能性。当您可以拥有一个完整类别时，为什么要选择一个类别呢？

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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