对数长度见证人的示例比查找更容易验证

12

一个简单的观察结果是，如果一个问题是可判定的，通过使用一个多项式时间不确定的程序非确定性位（即，所有证人在长度上对数），然后。 $A$ $O(\log n)$ $A \in \mathsf{P}$

如果然后有人问这个问题：“核实证人比找到证人容易吗？” 对于此类问题，并且认为所有多项式运行时间都相等，那么答案是否定的，因为可以通过搜索所有潜在的证人在多项式时间内找到此类证人。

但是，如果我们考虑多项式运行时间之间的细微差别，该怎么办？我想知道中是否存在一个自然问题的具体示例，它具有对数长度的证人，比对证人更容易验证，而“更容易”意味着更小的多项式运行时间。 $\mathsf{P}$

例如，用于图的完美匹配的已知算法花费多项式时间，但是在具有节点的图上花费的时间比。但是给定一组对节点（一个见证人），很容易在时间上验证它是否匹配。但是，匹配本身需要位进行编码。 $O(n)$ $n$ $n/2$ $O(n)$ $\Omega(n)$

是否存在一些自然的问题，可以使证人具有对数长度，从而在验证与查找方面实现相似（明显）的加速？

cc.complexity-theory

— 戴夫·多蒂
source

3

考虑计算

位输入字符串是否不等于全零字符串的问题。这样做需要花费

时间，但是

大小的见证者（指向

）使此操作变得更加容易（在随机访问计算机上）。

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

\log n

$\log n$

1

$1$

— 罗宾·科塔里

如果我们考虑在随机访问机器上至少具有线性验证时间的问题，那么这个问题将特别有趣。论文web.stanford.edu/~rrwill/improved-algs-lbs2.pdf的第4节给出了一些有趣的结果，即使

确定性也比穷举搜索有普遍改进。（第5节甚至证明了一些无条件的下限。）

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

Answers:

14

考虑决定问题，该问题决定长度为的给定二进制输入是否为非回文。 $x$ $n$

有相当标准的通信复杂性证明，单个磁带TM至少需要时间才能解决此问题。 $O(n^2)$

在另一方面，我们也可以使用具有非确定性算法解决这个问题长度证人：算法接受每当从开始第i比特上不同于从的末端个比特。可以在单个磁带TM上以时间完成从长度为串的开始或结尾识别第位。 $\log(n)$ $i$ $i$ $x$ $i$ $x$ $i$ $n$ $O(n \log n)$

— 米哈伊尔·鲁迪（Mikhail Rudoy）
source

1

很好，您基本上是在“消除”不确定性和确定性通信复杂度（对于两个字符串相等）之间的差异，以分离不确定性和确定性单磁带TM。

— 瑞安·威廉姆斯

By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.