大小不超过最小DFA的数量

令为大小为的字母，并考虑其大小最多为最小DFA 。令表示不同的最小DFA的数量。 $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

我们可以找到的闭式公式吗？ $f(m)$

考虑到，大小最大为的DFA的转移函数是图。由于节点的度数以为界，因此对于每个节点，存在成对的对弧（如注释中所建议）。在该图中有至多初始状态的可能的选择和至多的最终状态集可能的选择。因此，大小最大为的DFA的最大数量为。 $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

我们可以归纳为任意字母：边界变为。 $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

但是我们在这里限制了任意DFA，我对限制最小DFA的数量感兴趣。因此，似乎这个界限可能会更严格...有人有更好的估计吗？

如果可能的话，我将不胜感激，一些与该问题有关的论文或证明/反例。

— 鲁兹
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我认为您的上限不正确。看起来应该是

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ ，而不是

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ 。对于每个节点，请考虑从该节点引出的两条弧线。有

m

$m$ 第一条弧线走向的可能性，以及

m

$m$ 第二弧线的可能性，所以

m^{2}

$m^2$ 总的可能性。有

m

$m$ 节点，因此我们获得

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ 弧的可能性。推广将是

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ 。

— DW

这可能是一个参考：“关于具有n个状态的有限自动机所接受的不同语言的数量” -citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

感谢你们俩纠正了我的错误并给了我这个参考，这确实是个轻松的参考。

— Luz

Answers:

根据Ishigami Y.，Tani S.（1993）具有n个状态的有限自动机的VC维度， http：//link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58，是VC的VC维度。的概念类 $n$ 状态DFA超过大小字母 $k$ 是

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ 因此，至少有

2^{d}

$2^d$ 不同

n

$n$ 上的状态自动机

k

$k$ 字母。这种自动机的数目的上限来自一个简单的计数参数（在本文中给出），并且最大为

2^{d}

$2^d$ 。

— 亚列
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谢谢。我从您的回答中了解到

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -状态DFA（至少并且最多）。但我有兴趣计算最少的DFA。因此，您的上限与我回答中给出的上限没有矛盾，对吗？

— Luz

我认为，这也算最少的DFA，因为VC维度与表示无关，因此实际上是在统计不同的语言，它们对应于最少的DFA。

— Aryeh

哦:(那你的界限就和我的矛盾了...因为我的分母很大

(m - 1)!

$(m-1)!$ 这使得它远远低于您的...怎么了？

— Luz

我不太清楚矛盾-大分母

(m - 1)!

$(m-1)!$ 仍然被淹没

m^{m}

$m^m$ 在分子中。

— Aryeh

实际上，如果您查看Thm的证明。在我链接的论文3.2中，您将看到分母中的确切表达。

— Aryeh

（注意：接受的答案中给出的上限等于或等于此处给出的上限）

本文提出了一个上限，其中包含以下注释之一：“ 关于具有n个状态的有限自动机接受的不同语言的数量 ”（2002年，M。Domaratzki，D。Kisman，J。Shallit）。

在本文中：

的 $f_{|\Sigma|}(m)$ 函数提供了不同的非同构最小DFA的数量 $m$ -状态超过 ${|\Sigma|}$ 字母，
的 $g_{|\Sigma|}(m)$ 函数给出DFA接受的不同语言的数量 $m$ 状态超过 ${|\Sigma|}$ 字母。

我们对上限感兴趣 $g_{|\Sigma|}(m)$ 函数，因为我的问题要求最多包含的最大 DFA数量上限 $m$ 状态（不完全是 $m$ ）。

我从页面了解的内容 $6$ 低于定理 $8$ 就是它 $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ 这比我的问题中给出的约束更好（即 $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ）。这部分回答了我的问题。

但是该论文声称这个上限是微不足道的，可以改进。但是，改进仅涉及 $f_{|\Sigma|}(m)$ （据我了解）。

— 鲁兹
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