具有对数交替的量化布尔公式

我正在研究一个难于解决的问题，对于一类具有对数的对数替换形式的量化布尔公式而言。此类中的问题看起来像：

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

其中$a_{\log n} = n$，和$F$是变量的布尔公式$x_1 \ldots x_n$。

此类明确包含$PH$，并且包含在$AP = PSPACE$。这个班有名字吗？还有什么更了解的吗？

在Michael Wehar的答案的基础上，您似乎可以轻松证明计算可以采用诸如QBF的多尺寸编码：您使用O （log n ）交替，每个p ø 升ý （ñ ）位，并且做类似萨维奇定理的参数。每两个交替将由分割计算的运行时间p ø 升ÿ （$NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$因素。$poly(n)$

我会调用类，在Fortnow的符号下面的“时空权衡的满足性”这也可能是参数在前面的段落勾画（但请参见前面引用的文件）引用。$\Sigma_{O(\log n)} P$

（1）我们已经知道的：

就像您已经说过的那样，对于多项式层次结构的每个级别来说，QBF与量词的交替都是很难的。$\log(n)$

（2）我认为我们还可以证明以下几点：

问题是硬。$NSPACE(log^2(n))$

（3）这是我对前述断言的非正式辩解：

给定一个空间结合NTM和输入字符串，我们需要确定是否存在于给定的输入串的接受计算。$log^2(n)$

计算中的每个配置基本上可以由位表示。换句话说，我们可以用一组log 2（n ）变量表示一个配置。$\log^2(n)$$\log^2(n)$

这个想法是，我们有一个开始配置和一个最终配置，我们需要猜测介于两者之间的计算。我们使用存在的量词递归地猜测“中间”配置，并递归验证使用所有量词的“左”配置都转到“中间”，“中间”配置转到“右边”。

现在要做这项工作，而不是选择一个“中间”配置，我们需要在“左”和“右”配置之间选择一组等距的“中间”配置。特别是，我们可以猜测使用带有 √的现有量词的等距“中间”配置$\sqrt{n}$变量，然后递归使用所有具有近似log（n）变量的量词在配置之间的每个间隔上递归。$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

递归只需要继续到深度即可覆盖长度√的计算$2 * \log(n)$，其中每个配置最多具有 log 2（n ）个位。$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$$\log^2(n)$

由于递归的深度为，因此我们只有 O （log （n ））组变量，即交替。由于每组量词只有$O(\log(n))$$O(\log(n))$变量，总共有O（$\sqrt{n} * log^2(n)$的变量。$O(\sqrt{n} * log^3(n))$

随时提供任何反馈或更正。非常感谢您，希望对您有所帮助。

（4）Ryan的答案提出了一个更笼统的主张：

您应该能够以更一般的方式执行上述构造。考虑以下：

在递归的每一步，分解为$g(n)$配置使用位组“中间” 配置。然后，递归到深度d （n ）。$c(n)$$d(n)$

只要我们没有太多的变量和太多的替换，这似乎就可以正常工作。大致来说，我们需要满足以下条件：

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

我们的通用方法将用于模拟运行g （n ）的非确定性图灵机使用c（n）个内存位 d （n ）步。$g(n)^{d(n)}$$c(n)$

特别是，我们选择以下内容：

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

满足了前面的不等式，我们可以进行构造以模拟运行大约2 log 2的非确定性图灵机使用 √（n ）步$2^{\log^2(n)}$位存储器。$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

换句话说，我们获得了比以前更好的硬度结果。特别是对于。$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$

（5）进一步概括：

在前面的概括中，我们正在模拟不确定的时间和空间限制的图灵机。但是，我们也可以模拟时间和空间有限的图灵机。

让我解释一下。因此，我们大致使用交替进行深度日志（$\log(n)$。但是，我们可以在开始时使用一些替代方法，例如$\log(n)$。然后，我们可以使用剩余的$\sqrt{\log(n)}$交替到达深度$\sqrt{\log(n)}$。$\sqrt{\log(n)}$

在这种情况下，我们可以模拟具有√的交替图灵机线性见证长度的 log （n ）交替，运行2 log $\sqrt{\log(n)}$步，并使用$2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$位存储器。$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

换句话说，对于具有次线性见证长度。或者，可以使用S编写此类$AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$上面的注释中提到 T A表示法。$STA$

感谢您的评论，并随时提供任何更正或澄清。:)

一个简短的答案。

初步观察：

• 对于多项式层次结构的每个级别来说，这个问题都很难解决。
• 对于交替使用图灵机的人来说，这个问题很难解决 $\log(n)$ 多项式时间的交替。

更深入的见解：

• 由以上Kaveh的评论建议，该问题可以对 $AltTime(\log(n), n)$ 图灵机。
• 而且，正如Ryan指出的那样，该问题可以对 $NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$ 图灵机。

• More generally, the problem can encode computations for machines corresponding to various classes of the form $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$ with restricted witness lengths. I'm not quite sure what the exact relationship between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ has to be, but we know that:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

See my longer answer for more details on the trade-offs between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

Note: In the above, when I say encode computations, I mean encode the computation without blowing up the instance size too much. That is, if we blow-up from $n$ size Turing machine input to $poly(n)$ size formula, then I think that although the blow-up is polynomial, it is good to pay close attention to the degree of the polynomial. The reason for the semi-fine-grained perspective is to try and slightly better recognize how the different complexity measures $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ depend on each other.