分隔时间类别

我的一个学生最近问以下问题：

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (g (n)) .

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n)).$

h(n) $h(n)$

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (h (n)) ⊊ D T I M E (g (n)) ?

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(g(n))?$

如果是时间可构造的则可以通过构造来证明这是正确的。但总的来说，我觉得这应该类似于。 $h(n)$ $f,g$ $DSPACE(o(\log(\log(n)))) = DSPACE(1)$

cc.complexity-theory

— 佩克
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这可能取决于精确的模型。

鲍罗廷的差距定理这里所说的可能是相关的：cstheory.stackexchange.com/questions/8583/...

— 迈克尔Wehar

是否允许？因为那时必须存在一些示例，这些函数在所有位置（首位除外）均为零。无论如何，如果除了一个以外的其他地方都，则这个问题有意义吗？

f(n),g(n)=O(1) $f(n),g(n)=O(1)$

f≡g $f\equiv g$

n $n$

— domotorp

对不起，我并没有完全按照按照定义？

f(n),g(n)=O(1) $f(n),g(n) = O(1)$

DTIME(f(n))=DTIME(g(n)) $DTIME(f(n))=DTIME(g(n))$

— S. Pek

抱歉，我误解了问题，而我先前的评论没有多大意义。我删除了谢谢。

— Michael Wehar

Answers:

如果将定义为由两盘图灵机在时间内确定的所有语言的类别，那么我怀疑答案是否定的。换句话说，我认为并不总是存在严格的中间时间复杂度类。 $DTIME(f(n))$ $O(f(n))$

注意：由于我正在考虑不可计算的函数，并且未包含参数的所有详细信息，因此此答案可能并非您要找的答案。但是，我觉得这是一个好的开始。请随时提出任何问题。也许我可以在某个时候进一步填写这些详细信息，或者这可能会引起感兴趣的读者的更好回答。

考虑形式为。我们将这些函数称为自然数函数。 $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

声明1：我声明我们可以构造一个非常慢的增长的非递减自然数（不可计算）函数，使得： $\varepsilon(n)$

（1）不递减 $\varepsilon(n)$

（2） $\varepsilon(n) = \omega(1)$

（3）对于所有无界可计算，集合是无限的。 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $\{ n \; \vert \; \varepsilon(n) \leq f(n) \}$

我们将构造为缓慢增长的非递减阶跃函数。让我们枚举所有无界可计算函数。我们想要以这样的方式构造，即对于每个和每个， $\varepsilon(n)$ $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\varepsilon(n)$ $i$ $j \leq i$ 。换句话说，我们等待将映射到直到枚举中的前函数至少一次映射到大于或等于的值为止。然后，继续映射到直到第一在枚举函数已映射到的值大于或等于给至少一次，并且在该点它开始映射到 $min\{ k \; \vert \; \varepsilon(k) \geq i\} \geq min\{ k \; \vert \; f_{j}(k) \geq i \}$ $\varepsilon(n)$ $i$ $i$ $i$ $\varepsilon(n)$ $i$ $i+1$ $i+1$ $i+1$ 。如果我们继续构造迭代过程，那么对于任何给定的无界可计算函数，尽管可能并不总是较小，但它通常无穷小。 $\varepsilon(n)$ $\varepsilon(n)$

注意：我只是提供了权利要求1的一些直觉，但没有提供详细的证明。请随时加入下面的讨论。

因为是一个缓慢增长的函数，所以我们有以下内容： $\varepsilon(n)$

权利要求2：对于所有可计算的自然数函数和，如果 $f(n)$ $h(n)$ 和，那么。 $h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$ $h(n) = O(f(n))$ $h(n) = \Theta(f(n))$

根据权利要求2中，如果存在一个可计算函数之间 $h(n)$ 和使得，那么我们就能够计算该比更slowely生长无界自然数函数，这是不可能。 $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ $f(n)$ $h(n) \neq \Theta(f(n))$ $\varepsilon(n)$

让我解释一些相关细节。为了矛盾起见，假设存在这样的函数。然后， $h(n)$ 是无界的。 $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$

注意：前面的函数是可计算的，因为和是可计算的。 $f(n)$ $h(n)$

由于，我们有 $h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$ 。由此可见，有一些常数，使得对于所有足够大， $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor = O(\varepsilon(n))$ $\alpha$ $n$ 。因为该功能是无界和可计算我们可以应用根据权利要求1来获取 $\lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor < \varepsilon(n)$ 无限往往这违背了先前的发言。 $\varepsilon(n) \leq \lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$

权利要求3：对于时间可构造函数，我们得到 $f(n)$ ，但有不不存在使得 $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$ $h(n)$ 和 $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ 。 $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(f(n))$

为了证明这一点，，我们需要使用更强的时间谱系理论，这是我们使用的假设是带的数目是固定的（我们说上述两种磁带）。请参阅Martin Furer的“严格的确定性时间层次结构”。 $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$

由于在之间没有可计算的自然数函数除了以外的和，我们对每个函数都有使得 $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ $f(n)$ $\Theta(f(n))$ $h(n)$ 和， $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ $h(n) \neq \Theta(f(n))$ 。 $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) = DTIME(h(n))$

— 迈克尔·韦哈
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是的，这也正是我的初衷，但是后来就感到困惑。我只想指出，

根本不需要很小；类似的论点表明，较低的函数

ϵ(n) $\epsilon(n)$

可以替换为始终为

或

的函数，上位函数

可以替换为始终为

或

的函数。f(n)ϵ(n) $\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$

f(n) $f(n)$

0 $0$

f(n)ϵ(n) $f(n)\epsilon(n)$

f(n) $f(n)$

∞ $\infty$

— domotorp

（3）需要限制为无限制的功能

。f $\hspace{.04 in}f$

@RickyDemer是的，您是对的！非常感谢您抓住这一点。我编辑了答案，以添加无限单词。:)

— Michael Wehar '17

Im不完全说服约权利要求1考虑

如果

，

否则。考虑到这一点枚举，是

？fi(n)=1 $f_i(n) = 1$

n≤i $n \leq i$

n−i $n-i$

ϵ(n)=Θ(1) $\epsilon(n) = \Theta(1)$

— S. Pek'17

对于这个证明，我还有两个关注点：1）在权利要求2中，您说矛盾是由于不能存在等于

的可计算

这一事实引起的

。我相信这是一个拼写错误，因为它应该说存在一个

使得

。但请注意，

ϵ(n) $\epsilon(n)$

|h(n)−f(n)| $|h(n)-f(n)|$

k′ $k'$

ϵ(n)=|h(n)−k′⋅f(n)| $\epsilon(n) = |h(n) - k'\cdot f(n)|$

k′ $k'$ 不必是可计算的，因此该参数不必成立。2）您使用了权利要求3中Furer的结果，但是，该结果仅适用于时间可构造的函数，但

不必是时间可构造的。f(n)ϵ(n) $\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$

— S. Pek

如果这个结果是正确的，它将加强最著名的确定性时间层次定理。[这更多是评论，而不是答案，但是评论太长。它开了一个反例的直接施工。回想一下，最好确定的时间层次定理我们目前是如果是时间构造的，和，然后 $f(n), g(n)$ $g(n) \leq o( f(n) / \log f(n) )$ $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$ .

Now suppose your desired result is true, and let $g(n)$ be a time-constructible function that is close to, but still little-oh of, $f(n) / \log(f(n))$ , say, $g(n) = f(n) / (\log f(n))^{3/2}$ . (This $g$ may not be time-constructible for arbitrary time-constructible $f$ , but surely for many time-constructible $f$ this $g$ is also time-constructible.) Now, your desired result produces an $h$ such that $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(h(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$ . In order to avoid improving the current-best time hierarchy theorem, we would need both $g(n) = o( h(n) / \log(h(n)) )$ and $h(n) = o(f(n) / \log(f(n))$ . These two together imply that $g(n) \leq o( f(n) / (\log(f(n)) \log(h(n)))$ . Since $h(n) \geq g(n)$ , we have $g(n) \leq o( \frac{f(n)}{\log(f(n)) \log(g(n))})$ , or equivalently $g(n) \log g(n) \leq o(f(n) / \log(f(n)))$ . But $g(n) \log(g(n)) = f(n) / (\log(f(n))^{3/2} [\log(f(n)) - (3/2) \log \log(f(n)] \sim f(n) / \sqrt{\log(f(n))}$ , which is not $o(f(n) / \log(f(n))$ .

— Joshua Grochow
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Cool! Also, note that there is a better time hierarchy theorem if the number of tapes is fixed. See "The tight deterministic time hierarchy" by Martin Furer.

— Michael Wehar

@MichaelWehar: Thanks for the pointer! Indeed, when one gets so tight as to only require

$g(n) = o(f(n))$ , as Furer shows when the number of tapes is fixed, then my argument goes away. (And for basically the same reason, my argument goes away if this question were about space hierarchy instead of time: for space we have a perfectly tight hierarchy theorem even if # tapes isn't fixed.)

— Joshua Grochow

I think such a behaviour is true for 1-Tape-DTMs. On the one hand, we have $\mathrm{DTIME}_1(O(n)) = \mathrm{DTIME}_1(o(n \log n))$ . Unfortunately, the only reference I know is in German: R. Reischuk, Einführung in die Komplexitätstheorie, Teubner, 1990, Theorem 3.1.8.

On the other hand, it should be possible to separate $\mathrm{DTIME}_1(O(n))$ and $\mathrm{DTIME}_1(O(n \log n))$ by the language $\{ x \#^{2^{|x|}} x \mid x \in \{0,1\}^* \}$ using a standard crossing sequence argument.

— Markus Bläser
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