随机性和小型电路复杂度等级

令为复杂度类别，而为相对于定义为的随机对应物。更正式地说，我们提供多项式许多随机位，并且我们接受输入，前提是接受的可能性超过 $\mathcal{C}$ $\textrm{BP-}\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\textrm{BPP}$ $\textrm{P}$ 。 $\frac{2}{3}$

已知对于非均匀电路类别，我们有： $\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0$

MiklósAjtai，Michael Ben-Or：关于概率恒定深度计算的定理STOC 1984：471-474

这个定理的推广已知吗？例如，我们是否知道（仍处于非均匀设置）？最后一个问题看起来有点不平凡到我，因为它似乎是合理的，例如是。 $\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1$ $s,t\textrm{-Connectivity}$ $\textrm{BPNC}^1$

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circuit-complexity randomized-algorithms

— CP
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是什么促使您对连通性产生直觉？

— 米歇尔·卡迪哈克（Marchael Cadilhac）

您是否在询问统一电路课程？显而易见，在BP运算符下关闭了非均匀类（如

。

N C^{1}

$\mathrm{NC^1}$

— EmilJeřábek'17

只需使用与P / poly相同的参数即可。你只需要大多数功能，这是在可定义

。（Ajtai和Ben-或者需要大多数是更多的工作不是在提供

）

T C^{0} \subseteq N C^{1}

$\mathrm{TC^0\subseteq NC^1}$

A C^{0}

$\mathrm{AC^0}$

— 埃米尔耶扎贝克

@EmilJeřábek您完全正确。对于上述每个非unifom电路类

，我们有

。非常感谢你。

{TC}^{0}

$\textrm{TC}^0$

BP - C = C

$\textrm{BP}-\mathcal{C}=\mathcal{C}$

— CP

@EmilJeřábek：啊，我知道了。我认为这是临界点。这显然不是研究问题，但显然是有一些复杂研究经验的人认真提出的，只是由于试图扩展Ajtai-Ben-Or而不是使用更直接的方法而被误导了。

— Joshua Grochow

最不均匀复杂类- 包括-被下关闭操作者由相同的参数作为：使用切诺夫-Hoeffding束缚，错误的概率可减少到低于通过并行运行具有独立随机位的电路的实例，并进行多数表决；然后通过并集限制，一个随机位序列会为长度为所有输入提供正确的结果 $\mathrm{NC^1}$ $\mathrm{BP}$ $\mathrm{BPP\subseteq P/poly}$ $2^{-n}$ $O(n)$ $2^n$ $n$ 同时具有非零概率，特别是存在这样的序列。我们可以将其硬接线到电路中。

该论点适用于在采用电路的大多数并行副本并将输入门固定为常数的情况下闭合的任何类型的电路。实际上，这意味着高于任何体面的不均匀类，因为多数可以在。 $O(n)$ $\mathrm{TC^0}$ $\mathrm{TC^0}$

对于，证明更为复杂，因为此类不计算多数函数。（虽然我还没有看过Ajtai和Ben-Or的论文，但我猜他们会使用某种近似的多数。） $\mathrm{AC^0}$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）
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